Àlgebra elemental

Archiu:Quadratic function graph key values.svg

Àlgebra elemental

El àlgebra elemental inclou els conceptes bàsics d'àlgebra, que és una de les branques principals de les matemàtiques. Mentres que en l'aritmètica solament ocorren els números i les seues operacions aritmètiques elementals (com +, –, ×, ÷), en àlgebra també s'utilisen símbols per a denotar números (com a «x», «i», «a», «b»). Estos es denominen variables, incògnita, coeficients, índexs o raïl, segons el cas. El terme àlgebra elemental s'usa per a distinguir este camp del àlgebra abstracta, la part de la matemàtica que estudia les estructures algebraiques.

Lo anterior és útil perque:

• permet la generalisació d'equacions aritmètiques (i d'inecuaciones) per a ser indicades com a lleis (per eixemple $a+b=b+a$ per a tota $a$ i $b$ ), i és aixina el primer passe rumbo a l'estudi sistemàtic de les propietats del sistema dels número real;
• permet la referència a números que no es coneixen; en el context d'un problema, una variable pot representar cert valor que encara no es coneix, pero que pot ser trobat en la formulació i la manipulació de les equacions;i
• permet l'exploració de relacions matemàtiques entre les cantitats (per eixemple, “si vosté ven x bolletes, llavors, el seu benefici serà 3x – 10 dólars”).

Estes tres són els fils principals de l'àlgebra elemental, que deuen distinguir-se del àlgebra abstracta, un tema més alvançat que generalment s'ensenya als estudiants universitaris.

En àlgebra elemental, una expressió pot contindre números, variables i operacions aritmètiques. Per convenció, estos generalment s'escriuen en els térmens en exponent més alts a l'esquerra (vore polinomi); alguns eixemples són:

$x+3$

$y^2+2x-3$

$z^7+a\cdot (b+x^3)+\frac{42}{y}-\pi .$

En un àlgebra més alvançada, una expressió també pot incloure funcions elementals.

Una equació és l'asseveració de que dos expressions són iguals. Algunes equacions són veritats per a tots els valors de les variables implicades (per eixemple $a+b=b+a$); tals equacions són cridades identitats. Les equacions condicionals són veritats per a solament alguns valors de les variables implicades: $x^2-1=3$ . Els valors de les variables que fan l'equació verdadera es diuen les solucions de l'equació.

Signes algebraics

Signes d'operació

De la mateixa manera que en l'aritmètica, en l'àlgebra s'usen les operacions d'adició, substracció, multiplicació, i divisió. Adicionalment estan les operacions de potenciació, radicació i logaritmos.

Els signes d'operació són:

• adició: +:

$a+b$.

• substracció: –:

$a-b$

• multiplicació: ×:

$a\times b;a\cdot b;ab$

• divisió: ÷:

$a/b;a:b;a÷b;\frac{a}{b}$

• potenciació: és un chicotet número o lletra que apareix dalt i a la dreta d'una cantitat:

$a^b;e^a=\exp a$

• radicació:

$\sqrt{a};\sqrt[b]{a}$

• logaritmos:

$\ln a;\lg a;\log a;{\log }_{b}a$

Escritura en informàtica

Windows	–	Alt + 0150 (del bloc numèric)
Windows	×	Alt + 158 (del bloc numèric)
Windows	÷	Alt + 246 (del bloc numèric)

La notació algebraica descriu les regles i convencions per a escriure expressions matemàtiques, aixina com la terminologia utilisada per a parlar de les parts de les expressions. Per eixemple, l'expressió $3x^2-2xy+c$ té els següents components:

Archiu:Algebraic equation notation.svg

1. exponent (potència) 2. coeficient 3. terme 4. operació 5. constant,
x, i. variables

Un coeficient és un valor numèric, o lletra que representa una constant numèrica, que multiplica una variable (s'omet l'operador). Un terme és un gía|substraent o un sumant, un grup de coeficients, variables, constants i exponents que poden separar-se dels demés térmens per mig dels operadors més i menys. Les lletres representen variables i constants. Per convenció, les lletres situades al principi de l'alfabet (per eixemple, $a,b,c$) se solen utilisar per a representar constants, i les situades cap al final de l'alfabet (per eixemple, $x,y$ i z) s'utilisen per a representar variables. Normalment s'imprimixen en cursiva.

Les operacions algebraiques funcionen de la mateixa manera que les operacions aritmètiques, com suma, resta, multiplicació, divisió i exponenciación. i s'apliquen a variables i térmens algebraics. Els símbols de multiplicació solen ometre's, i estan implícits quan no hi ha espai entre dos variables o térmens, o quan s'utilisa un coeficient. Per eixemple, $3\times x^2$ s'escriu com $3x^2$, i $2\times x\times y$ pot escriure's $2xy$.

Normalment els térmens en la major potència (exponent), s'escriuen a l'esquerra, per eixemple, $x^2$ s'escriu a l'esquerra de x. Quan un coeficient és un, sol ometre's (per eixemple, $1x^2$ s'escriu $x^2$). De la mateixa manera, quan l'exponent (potència) és un, (p. eix. $3x^1$ s'escriu $3x$). Quan l'exponent és zero, el resultat és sempre 1 (i. g. $x^0$ sempre es reescriu en 1). No obstant $0^0$, en ser indefinit, no deu aparéixer en una expressió, i es deu anar en conte en simplificar expressions en les que puguen aparéixer variables en els exponents. Text en algebra'

Notació alternativa

• Atres tipos de notació s'utilisen en expressions algebraiques quan el format requerit no està disponible, o no pot ser implícit, com quan només es dispon de lletres i símbols. Com a ilustració d'açò, mentres que els exponents solen formatearse utilisant superíndexs, per eixemple $x^2$, en text pla, i en el llenguage de marcat TeX, el símbol caret Plantilla:Char representa la exponenciación, per lo que $x^2$ s'escriu com "x^2"., aixina com alguns llenguages de programació com Lua. En llenguages de programació com Ada, Fortran, Perl, Python i Ruby, s'utilisa un asterisc doble, per lo que $x^2$ s'escriu com "x**2". Molts llenguages de programació i calculadores utilisen un sol asterisc per a representar el símbol de multiplicació, i deu utilisar-se explícitament, per eixemple, $3x$ s'escriu "3x". àlgebra

Signes de relació

Indiquen la relació que hi ha entre dos expressions. Els signes de relació són:

• menor que: <
• major que: >
• igual a: =
• diferent a: ≠
• menor o igual a: ≤
• major o igual a: ≥

Signes d'agrupació

Els signes d'agrupació s'usen per a canviar l'orde de prioritat de les operacions. Les operacions indicades dins d'ells deuen realisar-se primer i deuen atendre, aixina com les indicades fòra d'ells, al orde de les operacions.

Els signes d'agrupació són:

• ( ) → paréntesis o paréntesis ordinaris
• [ ] → corchetes o paréntesis angulars o paréntesis rectangulars
• { } → claus
• | | → vínculs o barres (a voltes este signe s'usa para valor absolut)

Els signes d'agrupació tenen la seua orde de jerarquia per a realisar l'operació. L'orde de realisació de les operacions és el següent:

• Si no hi ha cap signe d'agrupació, les operacions mantenen la seua orde de les operacions.
• Si hi ha paréntesis, primer deuen realisar-se les operacions dins dels paréntesis, i després les operacions que estan sense paréntesis.
• Si hi ha corchetes, primer deuen realisar-se les operacions dins dels corchetes, despuix les operacions dins dels paréntesis, i després les operacions que estan sense corchetes i sense paréntesis.
• Si hi ha claus, primer deuen realisar-se les operacions dins de les claus, despuix les operacions dins dels corchetes, despuix les operacions dins dels paréntesis, i després les operacions que estan sense claus i sense corchetes i sense paréntesis.
• Si hi ha barres, primer deuen realisar-se les operacions dins de les barres, despuix les operacions dins de les claus, despuix les operacions dins dels corchetes, despuix les operacions dins dels paréntesis, i després les operacions que estan sense barres i sense claus i sense corchetes i sense paréntesis.

Els signes d'agrupació també poden anar dins d'atres signes d'agrupació, i en este cas també es respecta l'orde de jerarquia: els paréntesis van dins dels corchetes, els corchetes van dins de les claus, i les claus van dins de les barres.

• ( )
• [ ( ) ]
• { [ ( ) ] }
• | { [ ( ) ] } |

Escritura en informàtica

Windows	[	Alt + 91 (del bloc numèric)
Windows	]	Alt + 93 (del bloc numèric)
Windows	{	Alt + 123 (del bloc numèric)
Windows	}	Alt + 125 (del bloc numèric)
Windows	|	Alt + 124 (del bloc numèric)

Si després d'un número seguix un número dins d'un signe d'agrupació es sobreentiende que és una multiplicació.

• 3 (5) = 3 × 5
• 6 [9] = 6 × 9
• 7 {4} = 7 × 4
• 8 |2| = 8 × 2

La multiplicació també pot donar-se si hi ha un punt mig (no confondre en el punt decimal que de la mateixa manera que la menge decimal és un separador decimal). Majorment s'utilisa per a multiplicar monomis en una variable.

• 4 · 3 = 4 × 3
• 4 · 3 ≠ 4.3
• 4.3 = 4,3
• x · x² = x³

Escritura en informàtica

Windows

·

Alt + 250 (del bloc numèric)

Resum de multiplicació:

3 × 2 = 3 (2) = 3 [2] = 3 {2} = 3 |2| = 3 · 2

Expressions algebraiques

Terme

Un terme és una expressió algebraica elemental a on es troben solament operacions de multiplicació i divisió de números i lletres. El número es diu coeficient i les lletres conformen la part lliteral. Tant el número com cada lletra poden estar elevats a una potencia. En una expressió algebraica en varis térmens, estos estan separats en signes de suma i resta.

Terme independent

El terme independent, és el que consta de solament un valor numèric i no té part lliteral.

Térmens semblants

Els térmens semblants són els que tenen exactament la mateixa part lliteral (en les mateixes lletres elevades als mateixos exponents), i varien solament en el coeficient. Solament es poden sumar i restar térmens semblants. No es poden sumar i restar térmens que no siguen semblants; no obstant, es pot multiplicar i dividir tot tipo de térmens (no pots sumar a+b, pero ab= ab). Si en una expressió algebraica hi ha varis térmens semblants, estos es poden simplificar sumant-los o restant-los.

Un polinomi és una expressió algebraica en la qual solament intervenen les operacions de suma, resta i multiplicació, aixina com exponents sancers positius. Quan el polinomi consta d'un, de dos o de tres térmens es diu monomi, binomi o trinomi, respectivament. Generalment, un polinomi P en la variable x s'expressa com:

$P(x{)}_{}^{}=$ $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_1{x}^1+a_0{x}^0.$

Valor numèric d'un polinomi

És el valor que s'obté en substituir les lletres per valors numèrics i després realisar les operacions del polinomi.

Lleis de l'àlgebra elemental

Propietats de les operacions

• L'operació d'adició (+)
  • s'escriu $a+b$
  • és conmutativa: $a+b=b+a$
  • és associativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • té una operació inversa cridada substracció: $(a+b)-b=a$, que és igual a sumar un número negatiu, $a-b=a+(-b)$
  • té un element neutre 0 que no altera la suma: $a+0=a$

• L'operació de multiplicació (×)
  • s'escriu $(a\times b)$ o $(a\cdot b)$
  • és conmutativa: $(a\cdot b)$ = $(b\cdot a)$
  • és associativa: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  • és abreviada per yuxtaposició: $a\cdot b\equiv ab$
  • té una operació inversa, per a números diferents a zero, cridada divisió: $\frac{(ab)}{b}=a$, que és igual a multiplicar pel recíproc, $\frac{a}{b}=a\left(\frac{1}{b}\right)$
  • té un element neutre 1 que no altera la multiplicació: $a\times 1=a$
  • és distributiva respecte a l'adició en qualsevol conjunt numèric en estructura d'anell algebraic: $(a+b)\cdot c=ac+bc$

• L'operació de potenciació
  • s'escriu $a^b$
  • és una multiplicació repetida: $a^n=a\times a\times \dots \times a$ (n voltes)
  • té una operació inversa, cridada logaritmo: ${\log }_{b}n=x\iff b^x=n$ i $a^{lo{g}_{a}b}=b=lo{g}_a{a}^b$
  • pot ser escrita en térmens de raïl n-ésima: $a^{m/n}\equiv (\sqrt[n]{a^m})$ i per lo tant les raïls pares de números negatius no existixen en el sistema dels número real. (Vore: sistema d'número complejo)
  • és distributiva sobre la multiplicació: $(a\cdot b{)}^c=a^c\cdot b^c$
  • té la propietat de suma d'exponents: $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$
  • té la propietat de multiplicació a exponents: $(a^b{)}^c=a^{bc}$
  • no és ni conmutativa ni associativa: en general $a^b\ne b^a$ i $(a^b{)}^c\ne a^{(b^c)}$

Orde de les operacions

Per a completar el valor d'una expressió, és necessari calcular parts d'ella en un orde particular, conegut com el orde de prioritat o el orde de precedència de les operacions. Primer es calculen els valors de les expressions tancades en signes d'agrupació (paréntesis, corchetes, claus), després les multiplicacions i divisions i, per últim, les sumes i les restes.

Lleis de l'igualtat

La relació d'igualtat (=) té les propietats següents:

• si $a=b$ i $c=d$ llavors $a+c=b+d$ per lo tant $ac=bd$
• si $a=b$ llavors $a+c=b+c$
• si dos símbols són iguals, llavors un pot ser substituït per l'atre.
• regularitat de la suma: treballant en número real o complexos succeïx que si $a+c=b+c$ llavors $a=b$.
• regularitat condicional de la multiplicació: si $a\cdot c=b\cdot c$ i $c$ no és zero, llavors $a=b$ .

Lleis de la desigualtat

La relació de desigualtat (<) té les següents propietats:

• de transitividad: si $a<b$ i $b<c$ llavors $a<c$
• si $a<b$ i $c<d$ llavors $a+c<b+d$
• si $a<b$ i $c>0$ llavors $ac<bc$
• si $a<b$ i $c<0$ llavors $bc<ac$

Regla dels signes

En el producte i en el cocient de números positius (+) i negatius (-) es complixen les següents regles:

Vore també

• àlgebra
• teorema fonamental de l'àlgebra

• polinomi
• Equació
• Equació de primer grau
• Equació de segon grau
  • Completar el quadrat
• eliminació de Gauss-Jordan

• recta numèrica

Bibliografia

• Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [2] 2006, [3] 1822.
• Mirsky, Lawrence (1990): An Introduction to Linear Algebra, Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.