Completar el quadrat

Animació descrivint el procés de completar el quadrat.

El procediment de completar el quadrat, també cridat completación de quadrats és un recurs d'àlgebra elemental per a convertir l'expressió d'un trinomi de segon grau, des de la seua forma ordinària: $a x^{2} + b x + c$ a una atra equivalent de la forma: $a (x + h)^{2} + k$ .^[1]

Procediment per a completar el quadrat

En general, els procediments per a completar el quadrat consistixen en construir, per mig d'operacions algebraiques, un trinomi quadrat perfecte a partir d'una expressió que no ho és, i després reduir el resultat a un binomi al quadrat més (o menys) una constant.

Quan es té un trinomi quadrat perfecte, este es pot factorizar directament a un binomi al quadrat. Per eixemple, $x^{2} + 10 x + 25$ es pot factorizar com ${(x + 5)}^{2}$ .

Si no es té un trinomi quadrat perfecte, com per eixemple $x^{2} + 10 x + 28$ , este es pot manipular algebráicamente per a construir-ho. Note's que el terme independent 28 és igual a 25 + 3, Aixina que el trinomi donat és igual a $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ , en lo que tenim un trinomi quadrat perfecte més 3, que es pot reduir com ${(x + 5)}^{2} + 3$ . Açò que acabem de fer és un dels procediments per a completar el quadrat.

Avall es descriuen en detalle operacions algebraiques per a completar el quadrat en qualsevol trinomi quadrat dau.

Trinomi mónico x² + bx + c

Descripció	Procediment Simbòlic	Eixemple
Donat un polinomi de la forma	$P (x) = x^{2} + b x + c$	$x^{2} + 10 x + 28$
Sumant i restant el quadrat del cocient del coeficient de $x$ entre 2.	$P (x) = x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2} + c$	$x^{2} + 10 x + {(\frac{10}{2})}^{2} - {(\frac{10}{2})}^{2} + 28$
Agrupant térmens, s'obtindrà un trinomi quadrat perfecte. S'agrupen els térmens $x^{2}$ , $b x$ , i $+ \frac{b^{2}}{2^{2}}$ .	$P (x) = (x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{2^{2}}) - \frac{b^{2}}{2^{2}} + c$	$(x^{2} + 10 x + 25) - 25 + 28$
Factorizando (reduint) este trinomi a un binomi al quadrat, el qual es va obtindre: (1) extraent la raïl quadrada del primer terme del trinomi ( $\sqrt x^{2} = x$ ), que serà el terme esquerre del binomi; (2) extraent la raïl quadrada del tercer terme del trinomi ( $\sqrt (\frac{b^{2}}{2^{2}}) = \frac{\sqrt b^{2}}{\sqrt 2^{2}} = \frac{b}{2}$ ), que serà el terme dret del binomi; (3) usant el signe del segon terme del trinomi ( $+ b x$ ) com el signe que separa els térmens del nou binomi.	$P (x) = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2}}{4} + c$	${(x + 5)}^{2} + 3$

Observació: sobre l'expressió resultant ${(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2}}{4} + c$ pot continuar-se simplificat/reduint. Un método és elevant al quadrat abdós membres, la qual cosa generarà dos resultats, per la presència d'una raïl d'índex parell (en este cas quadrada).

Aixina, $x^{2} + b x + c = {(x + h)}^{2} + k = {(x + \frac{b}{2})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4}$ , a on $h = \frac{b}{2}$ i $k = c - \frac{b^{2}}{4}$ .

Polinomi de la forma ax² + bx + c

Descripció	Procediment Simbòlic	Eixemple
Donat un polinomi de la forma	$a x^{2} + b x + c$	$3 x^{2} + 24 x + 40$
Traent a a com a factor comú, dels térmens en x	$a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c$	$3 (x^{2} + 8 x) + 40$
Sumant i restant el quadrat del cocient, del coeficient de x entre 2	$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c$	$3 (x^{2} + 8 x + 16 - 16) + 40$
Acomodant térmens, s'obtindrà un trinomi quadrat perfecte	$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c$	$3 (x^{2} + 8 x + 16 - 16) + 40$
Multipliquem pel factor comú a, al terme que acabem de restar, $- {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ , per a traure-ho del paréntesis	$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) - \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} + c$	$3 (x^{2} + 8 x + 16) - 48 + 40$
Quedant dins del paréntesis el trinomi quadrat perfecte	$a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) - \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} + c$	$3 (x^{2} + 8 x + 16) - 48 + 40$
Reduint este trinomi a un binomi al quadrat (en els térmens x i el coeficient de x dividit entre 2).	$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} + c$	$3 {(x + 4)}^{2} - 48 + 40$
Simplificant	$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a}$	$3 {(x + 4)}^{2} - 8$

Aixina, $a x^{2} + b x + c = a {(x + h)}^{2} + k$

a on $h = \frac{b}{2 a}$ i $k = c - \frac{b^{2}}{4 a}$

Significat geomètric de h i k

Archiu:Vértice de la parábola 6.png

En la funció

y = (x - 2)^{2} + 1

h = -2 i k = 1, aixina, el vèrtiç de la paràbola està en les coordenades (-h, k) = (2, 1)

En la funció quadràtica escrita com $a (x + h)^{2} + k$ , els valores -h i k són respectivament les coordenadas x i i del vèrtiç de la paràbola que representa graficamente a la funció. Si el valor de a és positiu, la paràbola obri cap a dalt i k és el valor mínim de la paràbola, i si a és negatiu, la paràbola obri cap a avall i k és el valor màxim de la paràbola.

En general, h i k representen desplaçaments en el pla cartesiano de la paràbola representada per la funció $x^{2}$ el vèrtiç de la qual és el punt (0,0).^[2] El valor de h determina un desplaçament en direcció horisontal tantes unitats ho indique el seu valor i en sentit opost al seu signe, és dir, si h és positiu el desplaçament es fa cap a l'esquerra, mentres que si és negatiu el desplaçament es fa cap a la dreta. Per eixemple, si h és igual a -3, la paràbola es desplaçarà 3 unitats cap a la dreta, i si h és igual a 5 la paràbola es desplaçarà 5 unitats cap a l'esquerra. Per un atre costat, el valor de k determina un desplaçament en direcció vertical tantes unitats ho indique el seu valor, cap a dalt si és positiu i cap a avall si és negatiu. Per eixemple, si k és igual a -1, la paràbola es desplaçarà una unitat cap a avall, i si k és igual a 1 la paràbola es desplaçarà una unitat cap a dalt.

En l'eixemple de la gràfica, h = -2, i k = 1. Aixina, la paràbola $x^{2}$ es desplaça 2 unitats a la dreta i una cap a dalt, fent que el seu vèrtiç siga el punt (2,1).

Perspectiva geomètrica

Archiu:Completing the square 307. caps block 5

Considere completar el quadrat per a la següent equació:

ya que $x^{2}$ representa l'àrea d'un quadrat en costats de llongitut $x$ , i $b x$ representa l'àrea d'un rectàngul en costats $b$ i $x$ , el procés de completar el quadrat es pot vore com una manipulació visual de rectànguls.

Intents simples de combinar $x^{2}$ i $b x$ en un quadrat major resulta en un cantó que falta. El terme $(b / 2)^{2}$ afegitó a cada costat de l'equació de dalt és precisament l'àrea del cantó que falta, d'ahí que se li cride "completar el quadrat".^[3]

Vore també

Referències

↑ Kalnin, R.A. : «Àlgebra i funcions elementals», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)
↑ «CK12-Foundation». flexbooks.ck12.org. Consultat el 2022-09-12.
↑ https://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Completar el cuadrado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kalnin, R.A. : «Àlgebra i funcions elementals», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)

[2] «CK12-Foundation». flexbooks.ck12.org. Consultat el 2022-09-12.

[3] ttps://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare

[1]

[2]

[3]

Procediment per a completar el quadrat

Trinomi mónico x2 + bx + c

Polinomi de la forma ax2 + bx + c

Significat geomètric de h i k

Perspectiva geomètrica

Vore també

Referències

Referències

Trinomi mónico x² + bx + c

Polinomi de la forma ax² + bx + c