Funció quadràtica

Funció quadràtica

Un polinomi quadràtic en dos raïls reals (creus de l'eix x i i), i per lo tant, sense raïls complexes. Alguns atres polinomis quadràtics tenen el seu mínim per damunt de l'eix x, en el cas de la qual no posseïx raïls reals pero sí té dos raïls complexes

En àlgebra, una funció quadràtica, un polinomi quadràtic, o un polinomi de grau 2, és una funció polinòmica en una o més variables en la que el terme de grau més alt és de segon grau.

Una funció quadràtica univariada (variable única) té la forma

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

En este cas la variable única és x. La gràfica d'una funció quadràtica univariada és una paràbola l'eix de la qual de simetria és paralel a l'eix i, com es mostra a la dreta.

Si la funció quadràtica s'establix igual a zero, llavors el resultat és una equació quadràtica. Les solucions a l'equació univariable es denominen raïls de la funció univariable.

El cas bivariable en térmens de les variables x i i té la forma

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2+cxy+dx+ey+f$

en a lo manco un dels coeficients a, b o c no iguals a zero. Una equació que establix esta funció igual a zero dona lloc a una secció cònica (una circumferència o una atra elipse, una paràbola o una hipérbola).

Una funció quadràtica en tres variables x, i, i z conté exclusivament els térmens x², i², z², xy, xz, yz, x, i, z, i una constant:

$f(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

en a lo manco un dels coeficients a, b, c, d, i o f dels térmens de segon grau que no són zero.

En general, pot haver un número arbitrariamente gran de variables, en el cas de les quals la superfície resultant es diu quadràtica, pero el terme de grau més alt deu ser de grau 2, com a x², xy, yz, etc.

Etimologia

L'adjectiu quadràtic prové de la paraula llatina quadrātum ("quadrat"). Un terme com x² es diu quadrat en àlgebra perque és l'àrea d'un quadrat en costat x.

Els components d'una funció quadràtica

Funcions quadràtiques

Coeficients

Els coeficients d'un polinomi a sovint es consideren número real o complexos, pero de fet, un polinomi es pot definir sobre qualsevol anell.

Grau

Quan s'usa el terme "polinomi quadràtic", a voltes es fa referència a "tindre un grau d'exactament 2", i atres voltes, a "tindre un grau com a màxim de 2". Si el grau és inferior a 2, es pot parlar d'un "cas degenerado". Per lo general, el context permet establir quin dels dos significats s'utilisa.

A voltes, la paraula "orde" s'usa en el significat de "grau", per eixemple, un polinomi de segon orde.

Variables

Un polinomi quadràtic pot involucrar una sola variable x (el cas univariable), o múltiples variables com a x, i i z (el cas multivariable).

El cas d'una variable

Qualsevol polinomi quadràtic de variable única pot escriure's com

$a{x}^2+bx+c,$

a on x és la variable, i a, b i c representen els coeficients. En àlgebra elemental, tals polinomis a sovint sorgixen en forma d'una equació quadràtica $a{x}^2+bx+c=0$. Les solucions a esta equació es diuen les raïls del polinomi quadràtic, i es poden trobar a través de la factorización, completant el quadrat, graficando, utilisant el método de Newton, o per mig de l'us de la fòrmula quadràtica. Cada polinomi quadràtic té una funció quadràtica associada, que el seu gràfic és una paràbola.

Cas de dos variables

Qualsevol polinomi quadràtic en dos variables pot escriure's com

$f(x,y)=a{x}^2+b{y}^2+cxy+dx+ey+f,$

a on x i i són les variables i a, b, c, d, i i f són els coeficients. Tals polinomis són fonamentals per a l'estudi de les seccions còniques, que es caracterisen per igualar l'expressió per a f ( x, i ) a zero. De la mateixa manera, polinomis quadràtics en tres o més variables corresponen a superfícies cuádricas i a hipersuperficies. En àlgebra llineal, els polinomis quadràtics es poden generalisar a la noció d'una forma quadràtica en un espai vectorial.

Vore també

• Equació de segon grau
• Forma quadràtica
• Representació matricial de seccions còniques
• Cuádrica
• Punts periòdics d'aplicacions quadràtiques complexes
• Llista de funcions matemàtiques
• Bhaskara II

Bibliografia

• Àlgebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• Àlgebra 2, sajón, ISBN 0-939798-62-X