Cuádrica

Archiu:Circular Hyperboloid of Two Sheets Quadric.png

Cuádrica

En matemàtiques, una cuádrica o superfície cuádrica és una generalisació de la noció de cònica del pla a dimensions superiors. Són superfícies en l'espai o hipersuperficies (de dimensió $n-1$) en un espai $n$-dimensional definides com el conjunt de zeros d'un polinomi irreducible de grau dos en $n$ variables, és dir, per una equació de la forma

$P(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)=0$,

a on P és un polinomi de segon grau en les coordenades $x_1,x_2\mathrm{...}{x}_n$. Quan el polinomi no és absolutament irreducible, el conjunt de zeros no se sol considerar una cuádrica, o es denomina cuádrica degenerada o cuádrica reducible.

Quan no es precisa, és una superfície de l'espai tridimensional real usual, en un sistema de coordenades ortogonal i unitari, i les coordenades es diuen x, i, z.

Archiu:Hyperb1N.png

Hiperboloide d'un full.

Història

Varen ser els matemàtics grecs de l'antiguetat els qui varen iniciar l'estudi de les cuádricas, en el con (una cuádrica) i les seues seccions, que són les còniques, curves en un pla bidimensional, encara que no varen amprar equacions.

Definició afí i mètrica

Una cuádrica afí, o superfície cuádrica afí, és una hipersuperficie (n-1)-dimensional corresponent al conjunt de zeros d'un polinomi de grau dos. Les variables del polinomi representen coordenades en l'espai afí, de manera que el conjunt de punts de la cuádrica és el conjunt de punts les coordenades dels quals en una referència afí prefixada. Si estes coordenades són $\{x_1,x_2,\mathrm{...},x_n\}$, llavors la cuádrica típica en eixe espai es definix per mig de l'equació algebraica:

$p(x_1,\dots ,p_n)=\sum _{i,j=1}^n{Q}_{i,j}{x}_i{x}_j+\sum _{i=1}^n{P}_i{x}_i+R=0$

a on $Q$ és una matriu quadrada de dimensió $n\times n$, $P$ és un vector de dimensió $n$ i $R$ és una constant. Si ben $Q,P$ i $R$ són per lo general reals o complexos, una cuádrica pot definir-se en general sobre qualsevol anell.

Vore també

• Cònica

Referències

• Plantilla:Ref lliure