Incògnita

En matemàtiques, una incògnita és un element constitutiu d'una expressió matemàtica. L'incògnita permet descriure una propietat verificada per algun valor desconegut, per lo general números. En el cas d'una equació, és un valor tal que, en substituir-ho per l'incògnita, es verifica l'igualtat; en este cas se li crida solució. L'incògnita també és utilisada en atres casos, com per eixemple una inecuación. Un problema pot tindre una o vàries incògnites, pero cada una s'expressa baix la forma d'un sol i únic símbol. Casos simples d'us són la regla de tres i el càlcul de percentage.

Històricament, l'incògnita va ser utilisada en la modelización de problemes algebraicos relacionats en polinomis. Este cas particular correspon a la cridada teoria d'equacions; el seu us s'ha expandit en particular en el progrés del anàlisis en a on apareixen atres funcions ademés de les polinòmiques; l'incògnita pugues aixina designar, per eixemple, un vector o una funció. En un sentit modern, una incògnita és una variable associada a una funció matemàtica el valor numèric de la qual pot obtindre's per operacions aritmètiques de càlcul.

El terme incògnita apareix per primera volta en el sigle XVII baixe la ploma de Fermat, pero el concepte és molt més antic. El matemàtic grec Diofanto, en el sigle III, introduïx el arithme que -si ben menys operacional- prefigura la «incògnita» moderna. El vocabulari i certs principis fonamentals de la resolució d'equacions, com el de balancege, provenen en gran part del matemàtic Al-Juarismi i dels seus discípuls.

L'incògnita dels algebristas

Una incògnita posseïx les mateixes propietats algebraiques que els objectes matemàtics als que representa, per lo que es pot operar en ella, per eixemple: $x+x=2x$. De manera totalment general, les operacions aplicables als possibles valors de l'incògnita, són vàlides en la manipulació de la pròpia incògnita. És quan s'opera d'esta manera que es pot parlar verdaderament de «incògnita» en el sentit matemàtic del terme. Per una atra part, l'incògnita pot designar simplement un valor que es vol determinar, una solució a un problema donat, com pot ser un número, una figura geomètrica, etc.

Alguns historiadors de les matemàtiques consideren que el terme «incògnita», en el sentit matemàtic, s'aplica únicament si esta posseïx un mínim de propietats matemàtiques. Este sentit més precís permet definir els orígens d'una branca de les matemàtiques cridada àlgebra.

«El terme de àlgebra, en una época en que l'investigació sobre l'incògnita encara no és explícita, i menys l'estudi de "equacions", deu ser utilisat en prudència.»

Per a una equació escrita en la forma general: f(x)=g(x) («una igualtat entre dos expressions matemàtiques que es verifica per a certs valors de la variable cridada incògnita»), l'incògnita x és una variable. Les equacions polinomiales en una incògnita s'escriuen com a igualtats entre térmens, utilisant únicament les operacions d'adició i multiplicació. La resolució d'equacions polinòmiques, o algebraiques, juga un paper important en el naiximent i posterior desenroll de l'àlgebra. La branca de les matemàtiques que les estudia és la teoria d'equacions donat qué és l'expressió algebraica

Història

El papir Rhind és un dels texts matemàtics més antics coneguts, es troba el terme aha que es traduïx per incògnita.

Tan llunt com es remonten els texts matemàtics, es troba l'us de la incògnita, en el sentit d'un valor que es busca i que es desconeix. Aixina per eixemple, en un vell papir egipcíac, el papir Rhind, incògnita es denomina aha i el método de resolució és el de la regla falsa. La matemàtica babilònica fa us de valors desconeguts inicialment i que es busca establir, i que verifiquen certes característiques. Les tablillas babilòniques que es conserven no són lo suficientment explícites per a deixar saber si el método de resolució és geomètric o no, i res fa pensar en una formalisació de l'incògnita.

Esta concepció de l'incògnita no és considerada pels historiadors de les matemàtiques com «l'incògnita en el sentit matemàtic del terme», sino que designa ací una paraula del llenguage corrent, correspon al valor desconegut de la qüestió a resoldre i que es torna conegut una volta resolt el problema. Un formalisme matemàtic associat a la definició mateixa de lo que es considera hui en dia com àlgebra és indispensable per a comprendre l'història del concepte. Este tractament formal no es troba ni en les matemàtiques egipcíaques ni babilòniques, ni tampoc en l'época d'Euclides en els grecs.

El método de la regla falsa o la resolució geomètrica per a la busca de l'àrea d'una superfície en un perímetro donat, són eixemples de métodos que no utilisen l'incògnita matemàtica, si be revelen lo que és en principi desconegut en un problema donat.

Els treballs de Diofanto

En el seu Arithmetica, Diofanto detalla les propietats del arithme, el ancestro de l'incògnita tal i com ha segut formalisada.

Els historiadors ubiquen l'orige del concepte d'incògnita, en el sentit matemàtic del terme, dins de l'obra de Diofanto (sigle III), més de 2000 anys despuix de la redacció del papir de Rhind. La seua incògnita es diu arithme, i la simbolisa en la lletra S.

«El número que posseïx una cantitat indeterminada d'unitats es diu el arithme, i la seua marca distintiva és S.»

Diofanto elabora un ancestro de llenguage simbòlic, aixina Sιβ significa 12*x, puix ι simbolisa 10, β 2 i S l'incògnita (en notació moderna: x). No és tant l'existència d'un llenguage pre-simbòlic lo que fa que se li atribuïxca a Diofanto el descobriment de la incògnita en sentit matemàtic, sino més be les propietats que li otorga. En l'introducció del seu llibre intitulado Arithmetica, Diofanto precisa les regles algebraiques, és dir que indica com adicionar, sostraure, multiplicar i dividir expressions que contenen la seua arithme:

«Aixina, pel arithme, direm l'invers del arithme, per a la seua potència, direm l'invers del quadrat.»

Són les lletres que aarithme multiplicat pel bicuadrado del arithme és igual a la gaveta del arithme.»

Lo que significa en llenguage modern que 1/x multiplicat per x4 és igual a x3.

El principi de balancege, és dir el fet de poder agregar o llevar d'abdós costats d'una igualtat una mateixa expressió és desenrollat:

«És d'utilitat que aquell que aborde este tractat siga destre en l'adició, substracció i multiplicació d'espècies, en la manera d'agregar espècies positives i negatives en coeficients diferents a atres espècies que són elles mateixes positives, o negatives i positives; i en fi, en la manera de llevar espècies positives i atres negatives, d'atres espècies ya siguen positives, o positives i negatives. Després, si resulta d'un problema que certes expressions són iguals a expressions idèntiques, pero en coeficients diferents, caldrà llevar d'un costat i d'un atre les [espècies] iguals d'iguals, fins a obtindre una sola espècie igual a una sola espècie.»

Estos principis són els primers que ensenyen el maneig de l'incògnita, definida en sentit matemàtic. L. Radfort ho expressa del següent modo:

«Esta resolució nos permet vore que en Diofanto estem en presència d'un canvi conceptual en la manera d'abordar certs problemes matemàtics. Una cantitat desconeguda és posada en escena i esta cantitat, el arithme, va a ser presa en conte en els càlculs: es va a operar en ella.»

L'aporte de la civilisació islàmica

Primera pàgina del Compendio de càlcul per compleción i comparació.

La matemàtica en l'islam medieval s'ocupa activament de la resolució d'equacions algebraiques. Hereus al mateix temps de les matemàtiques índies i gregues, els matemàtics àraps no tenen les mateixes reticències que els helens per a en els irracionals. Els matemàtics indis treballaven des de feya temps en la raïl quadrada i equacions de segon grau en solucions no racionals. Des de el VIII els Elements de Euclides es varen traduir a l'àrap aixina com els treballs del matemàtic indi Brahmagupta.

En esta época, Al-Juarismi repren/reprén en el llibre II dels Elements de Euclides la part que tracta sobre problemes de segon grau, modificant-la profundament. El formalisme no és ya geomètric ni el d'una pregunta o una llista de preguntes a respondre, a la manera dels babilonios o de Diofanto, sino la resolució d'una equació expressada directament en una incògnita. El seu llibre Compendio de càlcul per compleción i comparació comporta un títul que descriu el método de balancege mencionat: en una equació, es pot agregar el mateix terme en abdós costats de l'igualtat, principi cridat al-jabr; o llevar-li, lo que ell flama al-muqābela. Este llibre tracta totes les equacions de grau dos, és considerat per açò: «el naiximent d'una teoria de les equacions quadràtiques, en el conjunt dels números positius (casi sempre racionals)».

Sobre el llibre de Diofanto, hi ha algunes reculada, aixina com alguns alvanços. El verdader progrés residix en el fet de que l'alcanç de l'incògnita ya no es llimita als número racional, encara si els coeficients de l'equació són casi sempre racionals. En resquit, Al-Juarismi no desenrolla casi cap llenguage simbòlic; el seu aporte essencial consistix en simbolisar l'incògnita en una lletra i en introduir una notació posicional dels números indis. Esta falta no impedix la definició d'un concepte rigorós, pero torna més complex el maneig de l'incògnita. Ademés, l'incògnita (que Al-Juarismi crida shay' i que significa la cosa que es busca) no es diferencia de la noció de solució, el valor amagat que es busca (que ell crida gizr, lo que es traduïx com a raïl).

Els seus estanys són poc a poc omplides pels seus successors. Abu Kamil, el seu discípul, generalisa l'estudi d'equacions a aquelles en coeficients racionals. Al-Karaji desenrolla una aritmètica de l'incògnita, que prefigura nostra àlgebra de polinomis. La seua obra és continuada i desenrollada per Al-Samaw'al, qui introduïx una notació de polinomis com a taules dels seus coeficients, molt més operacional que la dels seus predecessors. L'escritura simbòlica es desenrolla, Al-Karaji utilisa símbols per a descriure les potències de l'incògnita, el símbol > lloc sobre un número significa la raïl quadrada i un signe semblat a la J designa el signe igual.

L'aporte de la civilisació àrap no afonda massa sobre la formalisació de l'incògnita (Diofanto disponia ya d'un concepte prou operacional), pero sí sobre el seu domini d'aplicació, que es convertirà en lo que històricament es denomina la teoria d'equacions, i sobretot conseguix establir un mig sintàctic més ric, en una notació decimal i una major riquea de símbols, permetent un maneig més simple de l'incògnita. L'escritura de l'àlgebra en text va ser no obstant predominant.

Assimilació europea

Europa descobrix els treballs dels matemàtics àraps molt abans que els de Diofanto. En el XII el text del-Juarismi és traduït al llatí per Robert de Chester i despuix per Gerardo de Cremona. Algunes paraules del nostre vocabulari conexas a la noció d'incògnita provenen de l'àrap. El terme àlgebra és una traducció del-jabr del-Juarismi, la paraula raïl és una traducció de gizr' del mateix autor.

Si el concepte d'incògnita, per a una equació algebraica, és formalisat essencialment de la mateixa manera en Europa que en els àraps, el desenroll d'un llenguage simbòlic més ric i conciso, per Viète, Fermat i Descartes, li va donar un poder operacional més vast i va permetre estendre la teoria d'equacions.

Vore també

• Història de la matemàtica
• Aritmètica
• Àlgebra

Bibliografia

• Collectif, Réussir au collège : Maths, 4ème, Hachette Education, 2003 ISBN 2011686598.
• R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire dones mathématiques arabes, Paris, Els Belles lettres, 1984.
• A. Dahan-Dalmedico, J. Peiffer (1986). Unix Histoire dones mathématiques, Routes et dédales.

• J.-P. Guichard (2003). La première inconnue…, IREM de Poitiers.
• Luis RadfordBulletin AMQ.
• Vore Eecke (1926). Diophante d'Alexandrie. Els Six Livres Arithmétiques et li Livre dones Noms Polygones, Desclée de Brouwer, reimpressió: Paris, Albert Blanchard, 1959.