Variable (matemàtica)

En matemàtiques i en llògica, una variable és un símbol constituent d'un predicat, fòrmula, algoritme o d'una proposició. El terme «variable» s'utilisa encara fora de l'àmbit matemàtic per a designar una cantitat susceptible de prendre distints valors numèrics dins d'un conjunt de números especificat.

Pel contrari, una constant és un valor que no canvia (encara que pugues no ser conegut, o indeterminat). En este context, deu diferenciar-se d'una constant matemàtica, que és una magnitut numèrica específica, independentment de la naturalea del problema donat.

Formalisació

Archiu:Gottfried Wilhelm Leibniz, Bernhard Christoph Francke.jpg

Gottfried Leibniz.

Desenroll històric

Vore també: Història de les matemàtiques

La noció intuïtiva de «variable» o «valor indefinit», es confon en la de «incògnita» o «indeterminada», en un sentit enterament algebraic; el seu orige i desenroll se situa en els treballs de Arithmetica de Diofanto i al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala d'Al-Juarismi. La branca de les matemàtiques que profundisa l'estudi de la solució d'equacions, dins del àlgebra abstracta és la teoria d'equacions.

En obres antigues com Els Elements de Euclides, les lletres simples es referixen a punts i formes geomètriques. En el VII, Brahmagupta va utilisar diferents colors per a representar les incògnites en equacions algebraiques en el Brāhmasphuṭasiddhānta. Una secció d'este llibre es titula "Equacions de varis colors".

A finals de el XVI, François Viète va introduir l'idea de representar números coneguts i desconeguts per mig de lletres, hui cridades variables, i la de computar en elles com si foren números, per a obtindre el resultat per mig d'una simple substitució. La convenció de Viète consistia en utilisar consonante per als valors coneguts i vocals per als desconeguts.

En 1637, René Descartes "va inventar la convenció de representar les incògnites en les equacions per x, i i z, i les conegudes per a, b i c". Contràriament a la convenció de Viète, la de Descartes seguix sent d'us comú. L'història de la lletra x en matemàtiques es va tractar en un artícul de Scientific American de 1887.

A partir de la década de 1660, Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz varen desenrollar independentment el càlcul infinitesimal, que consistix essencialment en estudiar cóm una variació infinitesimal d'una cantitat variable induïx una variació corresponent d'una atra cantitat que és una funció de la primera variable. Casi un sigle més vesprada, Leonhard Euler va fixar la terminologia del càlcul infinitesimal, i va introduir la notació i = f(x) per a una funció f, la seua variable x i el seu valor i. Fins a finals de el XIX, la paraula variable es referia casi exclusivament al arguments i al valors de les funcions.

La «variable moderna», dins de l'àmbit matemàtic, és un terme que va ser falcat per Gottfried Leibniz (finals de el XVII), en relació en els seus treballs en càlcul diferencial. La notació « f(x)» va ser introduïda per Leonhard Euler en la seua obra Commentarii de Sant petersburgo en 1736.

Variables independents i variables depenents

AP

En càlcul, àlgebra i geometria analítica, sol fer-se la distinció entre variables independents i variables depenents. En una expressió matemàtica, per eixemple una funció $y=f(x)$, el símbol "x" representa a la variable independent, i el símbol "i" representa a la variable depenent. Es definix variable independent com un símbol "x" que pren diversos valors numèrics (arguments), dins d'un conjunt de números específics i que modifica el resultat o valor de la variable depenent.

Polinomis i equacions

En una igualtat del tipo f(x)=g(x), la incògnita x és una variable matemàtica i f(x) i g(x) són funcions matemàtiques, en el sentit que associen a un valor, per eixemple 1, els números notats f(1) i g(1).

Si es consideren els polinomis com a funcions, és possible escriure tota equació baixe eixa forma, a condición de que l'incògnita x pertanyga a un conjunt arbitrari (números, vectores, funcions, etc) i les funciones f i g estiguen ben definides, de manera general.

Convencions

Vore també: Incògnita

Vore també: Funció matemàtica

En notació matemàtica existixen numerosos símbols utilisats convencionalment per a representar les variables més conegudes i utilisades. A continuació es presenten els més comuns; molts d'ells posseïxen atres usos acceptats, i poden de fet representar una constant o una funció específica.

• a_i per a denotar el terme d'una successió.
• a, b, c i d (a voltes estés a i i f) denoten generalment constants matemàtiques.
  • Els coeficients en una equació, per eixemple l'expressió general d'un polinomi o una equació diofántica també solen escriure's a, b, c, d, i i f.
• f i g (també h) denoten comunament funcions.
• i, j, i k (també l i h) s'utilisen per a sub-indexar.
• l i w solen utilisar-se per a designar el llarc i ample d'una figura geomètrica.
• m i n solen denotar número entero i solen utilisar-se per a designar nocions similars en un context matemàtic, com un parell de rectes paraleles.
  • n comunament denota un conte d'objectes, o en estadística, el número d'observacions.
• p, q, i r solen eixercitar rols paralels en un context matemàtic.

Bibliografia

• Edwards, Joseph (1892). An Elementary Treatise on the Differential Calculus, 2nd edició, London: MacMillan and Co..
• Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, classics edició, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-165711-3.
• Fraleigh, John B. (1989). A First Course in Abstract Algebra, 4th edició, United States: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-52821-3.
• (2010) The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-219-2.
• Menger, Karl (1954). “On Variables in Mathematics and in Natural Science”. The British Journal for the Philosophy of Science 5 (18): 134–142. University of Chicago Press. doi:10.1093/bjps/V.18.134.
• Peregrin, Jaroslav (2000). «Variables in Natural Language: Where do they menja from?», Variable-Free Semantics, Osnabrück Secolo, pp. 46–65. ISBN 978-3-929979-53-4.
• Quine, Willard V. (1960). “Variables Explained Away”. Proceedings of the American Philosophical Society 104: 343–347. American Philosophical Society.
• Sorell, Tom (2000). Descartes: A Very Short Introduction, New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-285409-4.
• Plantilla:Anchor
• Sullivan, Michael (1998). Trigonometria i geometria analítica, Pearson Educació, pp. 32.
• Tabak, John. Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought, Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-6875-3.