Equació de quint grau

Polinomi de 5.º grau en quatre punts extrems.

En matemàtica, es denomina equació de quint grau o equació quíntica a una equació polinòmica que l'exponent de la variable independent de major grau és cinc. És de la forma general:

a on a, b, c, d, i i f són membres d'un cos (habitualment, en anàlisis matemàtic i àlgebra clàssica, el dels números racionals, el dels reals o els complexos; pero en àlgebra abstracta s'usen atres cossos), i $a\ne 0$.

Degut a que són de grau impar, la gràfica de les funcions quínticas s'assembla a la de les funciones cúbiques, inclús pot posseir un màxim i un mínim locals adicionals. La derivada d'una funció quíntica és una funció cuártica i la seua integral una funció séxtica.

Busca de raïls d'una equació quíntica

Trobar les raïls d'un polinomi (valors de x que satisfan tal equació) en el cas racional donats els seus coeficients ha segut un important problema matemàtic.

La resolució d'equacions llineals, quadràtiques, cúbiques i cuárticas per mig de factorización de raïls és prou senzilla quan les raïls són racionals o reals; també hi ha fòrmules que proporcionen les solucions. No obstant, no hi ha una fòrmula general en térmens de raïls per a les equacions de quint grau sobre els racionals; per mig d'un número finito de sumes, restes, multiplicacions, divisions i extracció de raïls. Açò ho va provar per primera volta el teorema d'Abel-Ruffini, publicat en 1824, que va ser una de les primeres aplicacions de la teoria de grups en l'àlgebra. Este resultat també es complix per a equacions de major grau.

Cas inicial

• Siga l'equació x⁵ - 1 = 0, es factoriza el primer membre; el resultat del qual comporta el binomi x - 1 i un polinomi mónico complet de quart grau, tots els coeficients igual a 1. En el 'cuadrinomio' que correspon a una equació recíproca es dividix entre x², es formen trinomis que siguen quadrats perfectes; es fa canvi de variable de x + 1/x = t. Es resol en t, després en x. S'obtenen, d'esta manera netament algebraic, les cinc raïls de l'unitat, quatre d'elles complexes i primitives.

Factorización de radicals

Algunes equacions de quint grau es poden resoldre per mig d'factorización de radicals, com per eixemple x⁵ − x⁴ − x + 1 = 0, que pot escriure's com (x² + 1)(x + 1)(x − 1)² = 0. Atres quínticas com a x⁵ − x + 1 = 0 no poden factorizarse de manera senzilla. Évariste Galois va desenrollar tècniques per a determinar si una equació donada podria ser resolta per mig d'factorización, lo que va donar peu al camp de la teoria de Galois. Usant esta teoria, John Stuart Glashan, George Paxton Young i Carl Runge varen mostrar en 1885 que qualsevol quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard,

deu forçosament tindre la següent forma:

a on $\mu$ i $\nu$ són racionals. En 1994, Spearman i Williams varen donar una alternativa,

en $ϵ=\pm 1$. Ya que fent un us juicioso de les transformacions de Tschirnhaus es pot convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard, açò dona una condició necessària i suficient per a que es puga resoldre per mig de raïls. La relació entre les parametrización de 1885 i 1994 pot vore's definint l'expressió

a on

i obtenim la primera parametrización usant el cas negatiu de la raïl quadrada, mentres que el cas positiu nos dona la segona en $ϵ=-1$. Per tant açò és una condició necessària (pero no suficient) per a que la quíntica resoluble irreducible

en coeficients racionals deu satisfer la curva quadràtica simple

sent a i i racionals.

Atres métodos analítics

També existixen atres métodos per a resoldre quínticas. George Jerrard va mostrar al voltant de 1835 que les quínticas es poden resoldre usant ultraradicalés (també coneguts com radicals de Bring), les raïls reals de t⁵ + t − a sent a un número real. En 1858 Charles Hermite va mostrar que el radical de Bring es podia caracterisar en térmens de les funcions theta de Jacobi i les seues funcions modular elíptiques associades, usant un enfocament similar al més familiar usat en resoldre equacions cúbiques per mig de funcions trigonométricas. Leopold Kronecker va desenrollar una manera més senzilla de derivar el resultat de Hermite usant Teoria de grups, pràcticament al mateix temps que Francesco Brioschi. Més alvance, Felix Klein va aplegar a un método particularment elegant que relaciona les simetria del icosaedre, la teoria de Galois i les funcions modular elíptiques que apareixen en la solució de Hermite, donant una explicació de per qué deuen aparéixer, i va desenrollar la seua pròpia solució en térmens de les funcions hipergeométricas generalisades. El matemàtic mexicà Graciano Ricalde Gamboa (1873-1942) va descobrir un método per a la resolució de l'equació de quint grau per mig de l'us de funcions elíptiques.

Métodos numèrics

Els métodos numèrics com el método de Newton-Raphson o de prova i error donen resultats molt ràpidament si solament es necessiten valors aproximats per a les raïls, o si se sap que les solucions comprenen solament expressions senzilles (com en exàmens). També es poden usar atres métodos com el de Laguerre o el de Jenkins-Traub per a trobar numèricament les raïls d'una quíntica de forma més fiable.

Funció theta de Jacobi

Carl Gustav Jakob Jacobi

En l'ajuda de la transformació de Tschirnhaus, totes les equacions quínticas es poden convertir a la forma Bring-Jerrard en l'ajuda d'expressions de funcions matemàtiques elementals. La forma Bring-Jerrard conté el terme quíntico, el terme llineal i el terme absolut. Pero els térmens cuárticos, cúbics i quadràtics no estan presents en absolut en esta forma d'equació. La solució elíptica generalisada de la forma Bring-Jerrard s'analisa en els següents paràgrafs. En base en la fòrmula d'parametrización descoberta pels matemàtics Glashan, Young i Runge, el següent parell de fòrmules es pot derivar d'una equació i la solució real:

$x^5+x=\frac{2}{5}{y}^{-5/4}\frac{(1+y-y^2)\sqrt{2+2y^2}}{\sqrt[4]{10+15y-10y^2}}$

$x=\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\cosh \left\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\right[\frac{5\sqrt{5+5y^2}}{(1+2y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}-$

$-\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\sinh \left\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\right[\frac{5y\sqrt{5+5y^2}}{(2-y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}$

Este parell de fòrmules és vàlida per a tots els valors 0 < i < 2. Per a que la forma general de Bring-Jerrard es resolga en este método, es necessita una clau elíptica. Esta clau elíptica es pot generar usant la Funció theta segons Carl Gustav Jakob Jacobi:

$x^5+x=w$

$x=\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\cosh \left\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\right[\frac{5\sqrt{5+5y^2}}{(1+2y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}-$

$-\frac{2}{5}{y}^{-1/4}\sqrt[4]{10+15y-10y^2}\sinh \left\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\right[\frac{5y\sqrt{5+5y^2}}{(2-y)\sqrt{4+6y-4y^2}}\left]\right\}$

$y=\frac{5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^5{⟩}^2}{2{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^2}-\frac{1}{2}$

Este procediment de solució s'explica ara en precisió a continuació. El costat dret de l'escala de l'equació per a la fòrmula superior en este paràgraf pren el valor w:

$w=\frac{2}{5}{y}^{-5/4}\frac{(1+y-y^2)\sqrt{2+2y^2}}{\sqrt[4]{10+15y-10y^2}}$

Esta equació deu ser resolta per al valor i. Açò requerix una expressió de funció modular elíptica, que en este cas inclou la funció theta de Jacobi:

$y=\frac{5{\vartheta }_{00}\left\{q\right[(50\sqrt{5}{w}^2+32+2\sqrt{3125w^4+256}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{3125w^4+256}+16}+5\sqrt[4]{5}w){]}^5{\}}^2}{2{\vartheta }_{00}\left\{q\right[(50\sqrt{5}{w}^2+32+2\sqrt{3125w^4+256}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{3125w^4+256}+16}+5\sqrt[4]{5}w\left)\right]{\}}^2}-\frac{1}{2}$

Esta expressió de solució concorda en la següent expressió:

$y=\frac{5{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2{\}}^5{⟩}^2}{2{\vartheta }_{00}⟨q\{\text{ctlh}[\frac{1}{2}\text{aclh}(\frac{5}{4}\sqrt[4]{5}w){]}^2\}{⟩}^2}-\frac{1}{2}$

Vore també

• Grup resoluble
• Teoria d'equacions
• Niels Henrik Abel
• Equació de primer grau
• Equació de segon grau
• Equació de tercer grau
• Equació de quart grau
• Equació de sext grau
• Equació de sèptim grau
• Equació d'octau grau

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.