Funció theta

En matemàtica, les funcions theta o θ-funcions són funcions especials de vàries variables complexes. Són importants en diverses àrees, incloses les teories de varietats abelianas i espais móduli, i de les formes quadràtiques. També li les ha aplicat a la teoria de solitones. Usades per a generalisar a una àlgebra de Grassmann, apareixen en la teoria quàntica de camps, en particular la teoria de les cordes i D-branas.

La forma més comuna de la funció theta és que prové de teoria de les funcions elíptiques. Sobre una de les variables complexes (convencionalment cridada z), una funció theta expressa el seu comportament respecte a l'adició d'un periodo de les funcions elíptiques associats, lo que la fa una funció cuasi periòdica. En la teoria abstracta prové d'una condició descendent sobre un fibrado vectorial.

Funció theta de Jacobi

La funció theta de Jacobi (pel matemàtic Carl Gustav Jacobi) és una funció definida per dos variables complexes τ i z, a on z pot ser qualsevol número complejo i τ pertany al semiplano superior, és dir que té la seua part imaginària positiva. És donada per la fòrmula

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (\pi i{n}^2\tau +2\pi inz)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(e^{\pi i\tau }\right)}^{n^2}\cos (2\pi nz).$

Si τ és fix, esta es convertix en una série de Fourier per a una funció periòdica respecte a z en periodo 1. En este cas, la funció theta satisfà l'identitat

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).$

La funció també es comporta molt regularment sobre la seua cuasi periodo τ i complix l'equació funcional

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp (-\pi i{b}^2\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )$

a on a i b són sancers.

Funcions auxiliars

La funció theta de Jacobi també es pot escriure en un doble 0 com a subíndex:

${\vartheta }_{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

Tres funcions auxiliars (semiperiódicas) són definides per

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{01}(z;\tau )& =\vartheta (z+\frac{1}{2};\tau )\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi iz)\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau ;\tau )\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =\exp (\frac{1}{4}\pi i\tau +\pi i(z+\frac{1}{2}))\vartheta (z+\frac{1}{2}\tau +\frac{1}{2};\tau ).\end{array}$

Esta notació prové de Riemann i Mumford; la formulació original de Jacobi va ser presentada en térmens de q = exp(πiτ), en lloc de τ. En la notació de Jacobi les θ-funcions estan escrites com:

$\begin{array}{cc}{\theta }_1(z;q)& =-{\vartheta }_{11}(z;\tau )\\ {\theta }_2(z;q)& ={\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\theta }_3(z;q)& ={\vartheta }_{00}(z;\tau )\\ {\theta }_4(z;q)& ={\vartheta }_{01}(z;\tau )\end{array}$

L'anterior definició de les funcions theta de Jacobi no les determina en forma única.

Si fixem z = 0 en les funcions anteriors, obtenim quatre funcions que varien només respecte a τ, definides en el semiplano superior (a voltes cridades theta constants.) Estes poden utilisar-se per a definir una varietat de formes modular, i per a parametrizar certes curves.

Referències

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford, Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. (See chapter XXI for the history of Jacobi's θ functions)

• Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97.

• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Pixen Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987.
• Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universität Athen, 2018, Arxiv.
• Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Volum 45, 350–372, 1913–1914.
• Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015.
• Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formules for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, pages 381–400.

• G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
• C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
• F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quint grau: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org).