Forma modular

Archiu:Discriminant real part.jpeg

Forma modular

En matemàtiques, una forma modular és una funció analítica complexa en el semiplano superior que satisfà un cert tipo d'equació funcional i condició de creiximent. Per lo tant la teoria de les formes modular pertany al anàlisis complex, pero la principal rellevància de la teoria ha estat tradicionalment en les seues conexions en la teoria de números. Les formes modular apareixen en atres àrees, tals com la topología algebraica i la teoria de cordes.

Una funció modular és una forma modular de pes 0: és invariante davant el grup modular, en lloc de transformar-se en la forma prescripta, i per lo tant és una funció modular en la regió modular.

La teoria de la forma modular és un cas especial de la teoria més general de les formes automórficas i per lo tant pot ser considerada com la part més concreta de l'àmplia teoria de grups discrets.

Formes modular per a SL(2, Z)

Definició Estàndar

Una forma modular de pes k per al grup modular

$\text{SL}(2,𝐙)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in 𝐙,ad-bc=1\}$

és una funció  f  de valores complexos sobre el semiplano positiu H = {z ∈ C, Im(z) > 0}, que satisfà les tres següents condicions:

(1)  f  és una funció holomorfa sobre H.

(2) Per a qualsevol z ∈ H i qualsevol matriu en SL(2, Z) com la de dalt, es té:

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{k}f(z)$

(3)  f  es requerix que siga holomorfa quan z → i∞.

Observacions:

• El pes k és generalment un sancer positiu.
• Per a impar k, únicament la funció nula pot satisfer la segona condició.
• La tercera condició també pot expressar-se dient que  f  és «holomorfa en la cim».
• La segona condició para

$S=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

indica que

$f(-1/z)=z^{k}f(z),f(z+1)=f(z)$

respectivament. ya que S i T generen el grup modular SL(2, Z), la segona condició de dalt és equivalent a eixes dos equacions.

• Les formes modular  f (z + 1) =  f (z) són funcions periòdiques, en periodo 1, i per tant tenen séries de Fourier associades.

Com a funció en grillas

Una forma modular pot ser pensada com una funció F del conjunt de grillas Λ en C al conjunt dels número complejo que satisfà certes condicions:

(1) Si es considera la grilla $\Lambda =⟨\alpha ,z⟩$ generada per una α constant i una variable z, llavors F(Λ) és una funció analítica de z.

(2) Si α és un número complejo no nul i αΛ és la grilla obtinguda en multiplicar cada element de Λ per α, llavors F(αΛ) = α^−kF(Λ) a on k és una constant (típicament un sancer positiu) cridat el pes de la forma.

(3) El valor absolut de F(Λ) permaneix acotat sempre i quan el valor absolut del menor element no nul en Λ està acotat sobre el zero.

Quan k = 0, la condició 2 implica que F depén solament de la classe de similitut de la grilla. Est és un cas especial molt important, pero les úniques formes modular de pes 0 són les constants. Si s'elimina la condició 3 i es permet que la funció tinga pols, llavors existixen eixemples en pes 0: elles són denominades funcions modular.

Esta situació pot comparar-se en forma favorable en el cas que resulta quan es realisa la busca de funcions en l'espai proyectivo P(V): en este cas, un idealment desija trobar funcions F en l'espai vectorial V que són polinomis en les coordenades de v≠ 0 en V i satisfan l'equació F(cv) = F(v) para tots els valores c no nuls. Desafortunadament, les úniques funcions d'este tipo són constants. Si es permet denominadors (funcions racionals en lloc de polinomis), es pot permetre que F siga la relació entre dos polinomis homogéneus del mateix grau. En forma alternativa, podem restringir-nos als polinomis i relaixar la dependència de c, permetent que F(cv) = c^kF(v). Les solucions són per lo tant polinomis homogéneus de grau k. Per una part, ells conformen un espai vectorial de dimensió finita per a cada k, i per una atra part, si es permet que el valor k varie, és possible trobar numeradors i denominadors per a construir totes les funcions racionals que són realment funcions de l'espai proyectivo subjacent P(V).

Bibliografia

• Jean-Pierre Serre: A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Séries in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Gorō Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment.
• Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators
• Erich Hecke: "Mathematische Werke" , Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• NP Skoruppa, D Zagier Jacobi forms and a certain space of modular forms, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer