Semiplano

Semiplano superior	Semiplano inferior
Erro al crear miniatura: Semiplano esquerre	Archiu:Right half-plane.svg Semiplano dret

En geometria euclídea, una llínea recta dividix un pla en dos semiplanos.^[1] Si s'agrega la llínea recta a un dels semiplanos, es parla d'un semiplano tancat, mentres que un semiplano sense la llínea recta es diu semiplano obert.

Sobre els eixos d'un sistema de coordenades cartesianas, existixen quatre semiplanos $ℋ,$ denominats:

El semiplano superior, que és el conjunt de punts $(x, y)$ en $y > 0$
El semiplano inferior, que és el conjunt de punts $(x, y)$ en $y < 0$
El semiplano esquerre, que és el conjunt de punts $(x, y)$ en $x < 0$
El semiplano dret, que és el conjunt de punts $(x, y)$ en $x > 0$

Estes expressions fan referència a semiplanos oberts. Si en les desigualtats anteriors se substituïx el signe > pel signe ≥, i el signe < pel signe ≤, s'obtenen les expressions dels corresponents semiplanos tancats.^[2]

Pla complex

Els matemàtics a voltes identifiquen el pla cartesiano en el pla complex, de manera que el semiplano superior correspon al conjunt de número complejo en la part imaginària positiva:

ℋ \equiv {x + i y ∣ y > 0; x, y \in ℝ} .

El terme sorgix d'una visualisació comuna de l'número complejo $x + iy$ com el punt $(x, i)$ en el pla dotat de coordenades cartesianas. Quan l'eix $i$ està orientat verticalment, el "semiplano superior" correspon a la regió situada per damunt de l'eix $x$ i, és dir, als número complejo per als que $i$ > 0.

És el domini de moltes funcions d'interés en anàlisis complex, especialment en formes modular.^[3] El semiplano inferior, definit per $i$ < 0, és igualment útil, pero menys utilisat per convenció. El disc unitat $𝒟$ (el conjunt de tots els número complejo de valor absolut menor que un) és equivalent per transformació conforme a $ℋ$ (consulte's "mètrica de Poincaré"), lo que significa que normalment és possible realisar els mateixos raonaments en $ℋ$ i en $𝒟 .$

També juga un paper important en geometria hiperbòlica, a on el model del semiplano de Poincaré proporciona una forma d'examinar el moviment hiperbòlic. La mètrica de Poincaré proporciona una mètrica hiperbòlica en l'espai.^[4]

El teorema de uniformización para superfícies establix que el semiplano superior és l'espai de recobriment universal de superfícies en curvatura de Gauss constant negativa.^[5]

El semiplano superior tancat és l'unió del semiplano superior i de l'eix real. És la clausura del semiplano superior.

Geometria afí

Les transformacions afins del semiplano superior inclouen^[6]

(1) moviments (x, i) → (x + c, i), c

\in ℝ

, i

(2) escalats (x, i) → (λ x,λ i), λ > 0.

Proposició: Sean A i B semicírculs en el semiplano superior en centres en el llímit. Llavors existix una transformació afí que fa correspondre a A i a B.

Demostració: Primer, canviar el centre de A a (0,0). Després prenga's λ = (diàmetro de B)/(diàmetro de A) i escalar. Després, traslladar (0,0) al centre de B.

Definició: $𝒵 \equiv {(\cos^{2} θ, \frac{1}{2} \sin 2 θ) | 0 < θ < π} .$

𝒵

es pot reconéixer com el círcul de radi ½ centrat en (½, 0), i com el gràfic en coordenades polars de

ρ (θ) = \cos θ .

Proposició: (0,0), $ρ (θ)$ en $𝒵,$ i $(1, \tan θ)$ són colineales.

De fet,

𝒵

és el reflex de la llínea recta

{(1, y) | y > 0}

en la circumferència goniométrica. Aixina mateix, la diagonal de (0,0) a

(1, \tan θ)

té una llongitut al quadrat de

1 + \tan^{2} θ = \sec^{2} θ,

de modo que

ρ (θ) = \cos θ

és el recíproc d'eixa llongitut.

Geometria mètrica

La distància entre dos punts qualssevol $p$ i $q$ en el semiplano superior es pot definir consistentemente de la següent manera: el bisector perpendicular del segment de $p$ a $q$ es creua en el llímit o és paralel a ell. En l'últim cas, $p$ i $q$ es troben en un raig perpendicular al llímit i es pot utilisar un número positiu per a definir una distància que és invariante somesa a escalat. En el primer cas, $p$ i $q$ es troben en un círcul centrat en l'intersecció de la seua bisectriz perpendicular i el llímit. Segons la proposició anterior, este círcul es pot moure per mig d'un moviment afí a $𝒵 .$ . Les distàncies en $𝒵$ es poden definir utilisant la correspondència en els punts en ${(1, y) | y > 0}$ i la mida logarítmica en este raig. En conseqüència, el semiplano superior es convertix en un espai mètric.^[7] El nom genèric d'este espai mètric és geometria hiperbòlica. En térmens dels models de geometria hiperbòlica, es designa en freqüència com model del semiplano de Poincaré.

Vore també

Referències

↑ Andrés Raer Saro (2021). Àlgebra i geometria llineal, Reverte, pp. 25 de 512. ISBN 9788429192926.
↑ Algebra Matematicas 2, Edicions Llindar, p. 94. ISBN 9789685430029.
↑ (1999) Quatrecents anys de matemàtiques entorn a l'última teorema de Fermat, Editorial Complutense, pp. 81 de 136. ISBN 9788489784383.
↑ Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (2013). Introduction to Hyperbolic Geometry, Springer Science & Business Media, pp. 209 de 289. ISBN 9781475755855.
↑ Vialar Thierry (2017). Handbook of Mathematics, BoD - Books on Demand, pp. 241 de 1132. ISBN 9782955199015.
↑ John Milnor (2011). Dynamics in One Complex Variable. (AM-160): (AM-160) - Third Edition, Princeton University Press, pp. 7 de 320. ISBN 9781400835539.
↑ Lindo Keen, Nikola Lakic (2007). Hyperbolic Geometry from a Local Viewpoint, Cambridge University Press, pp. 100 de 271. ISBN 9780521682244.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Semiplano» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[ARS-1] Andrés Raer Saro (2021). Àlgebra i geometria llineal, Reverte, pp. 25 de 512. ISBN 9788429192926.

[EU-2] Algebra Matematicas 2, Edicions Llindar, p. 94. ISBN 9789685430029.

[CA-3] (1999) Quatrecents anys de matemàtiques entorn a l'última teorema de Fermat, Editorial Complutense, pp. 81 de 136. ISBN 9788489784383.

[ARRDR-4] Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (2013). Introduction to Hyperbolic Geometry, Springer Science & Business Media, pp. 209 de 289. ISBN 9781475755855.

[VT-5] Vialar Thierry (2017). Handbook of Mathematics, BoD - Books on Demand, pp. 241 de 1132. ISBN 9782955199015.

[JM-6] John Milnor (2011). Dynamics in One Complex Variable. (AM-160): (AM-160) - Third Edition, Princeton University Press, pp. 7 de 320. ISBN 9781400835539.

[LKNL-7] Lindo Keen, Nikola Lakic (2007). Hyperbolic Geometry from a Local Viewpoint, Cambridge University Press, pp. 100 de 271. ISBN 9780521682244.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]