Disc unitat

Un disc unitat obert en el pla euclídeo.

En matemàtiques, el disc obert unitat (o disc) al voltant de P (a on P és un punt del pla euclídeo), és el conjunt de punts les distàncies dels quals des de P són menors que 1:

El disc tancat unitat al voltant de P és el conjunt de punts la distància dels quals a un punt fix és menor o igual que:

Els discs unitat són casos especials de boles obertes.

Sense majors especificacions, el terme disc unitat s'usa per a referir-se al disc obert unitat al voltant de l'orige, és dir, $D_1(0)$, en respecte a la mètrica euclídea. És l'interior topològic d'un círcul unitari de ràdio igual a 1, centrat en l'orige. Este conjunt pot identificar-se en tots els número complejo que el seu valor absolut és menor o igual que un. Quan es representa com a subconjunt del pla coplejo (C), el disc unitat freqüentment es designa simplement com $𝔻$.

El disc unitat obert, el pla i el semiplano superior

La funció

és un eixemple de funció analítica real i biyectiva des del disc unitat obert al pla euclídeo, la seua inversa és també una funció analítica. Considerat com una varietat analítica real bidimensional, el disc unitat obert és per tant isomorfo al pla complet. En particular el disc unitat obert és homeomorfo al pla complet.

No obstant, no existix cap aplicació conforme biyectiva entre el disc unitat i el pla. Considerat com superfície de Riemann, el disc unitat és per tant diferent del pla complex.

Existix aplicacions conformes biyectivas entre el disc obert unitat i el semiplano superior i per tant considerats abdós com a superfícies de Riemann, són isomorfos (de fet "biholomorfos" o "conformemente equivalents"). Molt més en general, la teorema de Riemann sobre aplicacions afirma que tot conjunt obert i simplement conexo del pla complex que siga diferent del tot el pla complex admet una aplicació conforme biyectiva en el disc unitat obert. Una aplicació conforme biyectiva entre el disc unitat i el semiplano superior és la transformació de Möbius:

que és l'inversa de la transformació de Cayley.

Vore també

• Teorema del punt fix de Brower
• Conjectura de Bieberbach

Referències

Bibliografia

• S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.

Enllaços externs

• On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson