Colinealidad

En geometria, la colinealidad és la propietat segons la qual un conjunt de punts estan situats sobre la mateixa llínea recta.^[1] Es diu que un conjunt de punts que posseïx esta propietat és colineal (a voltes escrit com colinear,^[2] procedent d'una traducció inadequada de l'anglés). En general, el terme s'ha usat per a objectes alineats, és dir, elements que estan "en una llínea" o "en una fila".

Punts en una llínea

En qualsevol geometria, un conjunt de punts situats sobre una mateixa llínea es diu que és colineal. En geometria euclidiana, esta relació es visualisa intuitivamente per mig de punts que es troben situats sobre una "llínea recta". No obstant, en la majoria de les geometria (inclosa la euclidiana), una recta sol ser un concepte bàsic, per lo que dites visualisacions no seran necessàriament apropiades. Un model matemàtic de la geometria oferix una interpretació de cóm els punts, llínees i atres tipos d'objectes es relacionen entre sí i una noció com la colinealidad deu interpretar-se dins del context rigorós d'este model matemàtic. Per eixemple, en geometria esfèrica, a on les llínees estan representades en el model estàndar pels círculs màxims d'una esfera, els conjunts de punts colineales es troben en el mateix círcul màxim. Tals punts no es troben en una "llínea recta" en el sentit euclidiano, i per lo tant no es pensa que estiguen "en fila".

Una aplicació d'una geometria sobre sí mateixa que convertix rectes en rectes es denomina colineación; ya que conserva la propietat de la colinealidad. Les aplicacions llineals (o funcions llineals) sobre un espai vectorial, considerades com a aplicacions geomètriques, correlacionan rectes en rectes; és dir, apliquen conjunts de punts colineales a conjunts de punts colineales i, per lo tant, són colineaciones. En geometria proyectiva estes assignació llineals es diuen homografia i són solament un tipo de colimación.

Eixemples en geometria euclidiana

Triànguls

En qualsevol triàngul, els següents conjunts de punts són colineales:

l'ortocentre, la circumferència circumscrita, el centroide, el punt de Exeter, el punt de Longchamps i el centre de la circumferència dels nou punts són colineales, tots se situen en una llínea anomenada recta de Euler.
El punt de Longchamps també té atres colinealidades.
Qualsevol vèrtiç, la tangència del costat opost en una circumferència exinscrita i el punt de Nagel són colineales en una llínea anomenada divisòria del triàngul.
El punt mig de qualsevol costat, el punt que és equidistant d'ell sobre el perímetro del triàngul en qualsevol direcció (per lo que estos dos punts bisecan el perímetro), i el centre de la circumferència de Spieker són colineales en una llínea anomenada cuchilla del triàngul. (La circumferència de Spieker és la circumferència inscrita del triàngul medial, i el seu centre és el centre de masses del perímetro del triàngul).
Qualsevol vèrtiç, la tangència del costat opost en el incírculo, i el punt de Gergonne són colineales.
Des de qualsevol punt de la circumferència circumscrita d'un triàngul, els punts més propencs en cada u dels tres costats estesos del triàngul són colineales en la recta de Simson del punt en la circumferència circumscrita.

Les llínees que conecten els peus de les altures es creuen en els costats oposts en els punts colineales.^[3]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}
l'incentro d'un triàngul, el punt mig d'una altura i el punt de contacte del costat corresponent en la circumferència exinscrita relatiu a eixe costat són colineales.^[4]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}X
El teorema de Menelao establix que tres punts $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ en els costats (alguns estesos) d'un triàngul opost als vèrtiços $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ respectivament són colineales si i solament si els següents productes de segments de llongitut són iguals:^[3]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}

P_{1} A_{2} \cdot P_{2} A_{3} \cdot P_{3} A_{1} = P_{1} A_{3} \cdot P_{2} A_{1} \cdot P_{3} A_{2} .

El incentro, el centroide i el centre del círcul de Spieker són colineales.
El circumcentre, el punt mig de Brocard i el punt de Lemoine d'un triàngul són colineales.^[5]
Dos perpendiculars que es creuen en l'ortocentre d'un triàngul, intersecan cada u dels costats estesos del triàngul. Els punts mijos en els tres costats d'estos punts d'intersecció són colineales en la teorema de la recta de Droz-Farny|recta de Droz-Farny.

Quadrilàters

En un quadrilàter convexo ABCD, els punts mijos de les seues diagonals AC i BD, i el punt en el que es tallen els segments resultants d'unir els punts mijos dels costats oposts, són colineales, i la llínea que passa a través d'ells es diu recta de Newton (a voltes coneguda com a recta de Newton-Gauss). Si el quadrilàter és un quadrilàter circumscrit, llavors el seu incentro també es troba en esta recta.^[6]
En un quadrilàter convexo, el cuasiortocentro H, el baricentre G i el cuasicircuncentro O són colineales en este orde, i HG = 2 GO.^[7] (Vore Quadrilàter.)

Atres colinealidades d'un quadrilàter circumscrit es detallen en l'artícul quadrilàter circumscrit.
En un quadrilàter cíclico, la circumferència circumscrita, el centroide dels vèrtiços (l'intersecció de les dos bimedianas) i l'anticentro són colineales.^[8]
En un quadrilàter cíclico, el centroide de la seua àrea, el centroide dels vèrtiços i l'intersecció de les diagonals són colineales.^[9]
En un trapezoide tangencial, les tangència del incírculo en les dos bases són colineales en el incentro.
En un trapezoide tangencial, els punts mijos dels costats són colineales en el incentro.

Hexàgons

El teorema de Pascal (també conegut com Hexagrammum Mysticum Theorem) establix que si s'elegixen sis punts arbitraris en una secció cònica (és dir, elipse, paràbola o hipérbola, o inclús en qualsevol parell de rectes) i s'unixen per segments de llínea en qualsevol orde per a formar un hexàgon, llavors els tres parells de costats oposts de l'hexàgon (estés si és necessari) es troben en tres punts que es troben en una llínea recta, cridada llínea Pascal de l'hexàgon. Ho contrarie també és cert: la teorema de Braikenridge–Maclaurin establix que si els tres punts d'intersecció dels tres parells de llínees a través de costats oposts d'un hexàgon es troben en una llínea, llavors els sis vèrtiços de l'hexàgon es troben en una cònica, que pot estar degenerada com en el teorema de l'hexàgon de Pappus.

Seccions còniques

Pel teorema de Monge, per a qualsevol tres circumferèncias en un pla, cap de les quals està completament dins d'una de les atres dos, els tres punts d'intersecció dels tres parells de llínees, cada u d'ells tangente externament a dos dels círculs, són colineales.
En una elipse, el centre, els dos focs i els dos vèrtiços en el ràdio de curvatura més chicotet són colineales; i el centre i els dos vèrtiços en el major ràdio de curvatura són colineales.
En una hipérbola, el centre, els dos focs i els dos vèrtiços són colineales.

Cons

El centre de masses d'un con sòlit de densitat uniforme es troba a un quarto del camí des del centre de la base fins al vèrtiç, en la llínea recta que unix els dos.

Tetraedres

El centroide d'un tetraedre és el punt mig entre el seu punt de Monge i el seu circumcentre. Estos punts definixen la recta de Euler del tetraedre que és anàloga a la recta de Euler d'un triàngul. El centre de l'esfera dels dotze punts del tetraedre també es troba en la recta de Euler.

Vore també

Referències

↑ The concept applies in any geometry Dembowski (1968, pg. 26), pero a sovint solament es definix dins de la discussió d'una geometria específica Coxeter (1969, pg. 168),Brannan, Esplen y Gray (1998, pg.106)
↑ Colinear (Merriam-Webster dictionary)
↑ ^3,0 ^3,1 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
↑ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.
↑ Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
↑ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.
↑ .
↑ (1995).«Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry».Cambridge University Press.37
35–39.
↑ (2011).«Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral».

Bibliografia

(1998).«Geometry».Cambridge University Press.Cambridge:
(1968).«Finite geometries».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Colinealidad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] The concept applies in any geometry Dembowski (1968, pg. 26), pero a sovint solament es definix dins de la discussió d'una geometria específica Coxeter (1969, pg. 168),Brannan, Esplen y Gray (1998, pg.106)

[2] Colinear (Merriam-Webster dictionary)

[Johnson-3] 3,0 ^3,1 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[AC-4] Altshiller-Court, Nathan. College Geometry, Dover Publications, 1980.

[5] Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.

[6] Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.

[Myakishev-7] .

[Honsberger-8] (1995).«Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry».Cambridge University Press.37
35–39.

[9] (2011).«Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral».

[1]

[2]

[3]

Plantilla:R/where

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]