Colineación

En geometria proyectiva, una colineación és una aplicació entre elements un a un (una funció biyectiva) d'un espai proyectivo en un atre, o des d'un espai proyectivo en sí mateixa, de manera que les imàgens de punts colineales són elles mateixes colineales. Per lo tant, una colineación és un isomorfisme entre espais proyectivos, o un automorfisme des d'un espai proyectivo en sí mateixa. Alguns autors restringixen la definició de colineación al cas en que es tracta d'un automorfisme. El conjunt de totes les colineaciones d'un espai en sí mateixa formen un grup, cridat el grup de colineación.

Definició

De forma simplificada, una colineación és una aplicació un a un d'un espai proyectivo en un atre, o d'un espai proyectivo sobre sí mateixa, de modo que les imàgens de punts colineales també són colineales. Es pot formalisar esta propietat usant vàries formes de presentar un espai proyectivo. Ademés, el cas de la llínea proyectiva és especial i, per lo tant, generalment es tracta de manera diferent.

Àlgebra llineal

Per a un espai proyectivo definit en térmens del àlgebra llineal (com la proyectividad d'un espai vectorial), una colineación és una aplicació entre espais proyectivos que és una funció monòtona sobre l'inclusió de subespacios.

Formalment, siga V un espai vectorial sobre un camp K; i W un espai vectorial sobre un camp L. Consideren-se els espais proyectivos PG(V) i PG(W), que conformen els espais vectorials de V i W. Es denominen D(V) i D(W) al conjunt de subespacios V i W, respectivament. Una colineación de PG(V) sobre PG(W) és una aplicació α: D(V) → D(W), tal que:

• α és una biyección.
• A ⊆ B ⇔ α(A) ⊆ α(B) para tot A, B en D(V).

Axiomàtica

Donat un espai proyectivo definit axiomáticamente en térmens d'una estructura d'incidència (un conjunt de punts P, llínees L, i una matriu d'incidència I especificant qué punts es troben en quines llínees, satisfent certs axioma), es definix una colineación entre espais proyectivos establits d'esta manera com una funció biyectiva f entre els conjunts de punts i una funció biyectiva g entre els conjunts de llínees, preservant la relació d'incidència.

Cada espai proyectivo de dimensió major que o igual a tres és isomorfo a la proyectividad d'un espai llineal sobre un anell de divisió, per lo que en estes dimensions esta definició no és més general que la llineal-algebraica anterior, pero en la dimensió dos existixen uns atres plans proyectivos, és dir, els plans no-Desarguesianos, i esta condició permet definir la colinealidad en dits plans proyectivos.

Per a la dimensió un, el conjunt de punts que es troben en una sola llínea proyectiva definix un espai proyectivo, i la noció resultant de colineación és qualsevol biyección del conjunt.

Colineaciones de la llínea proyectiva

Per a un espai proyectivo de dimensió un (una llínea proyectiva, la proyecció d'un espai vectorial de dimensió dos), tots els punts són colineales, per lo que el grup de colineación és exactament el grup simètric dels punts de la llínea proyectiva. Açò és diferent del comportament en dimensions superiors, i per lo tant es dona una definició més restrictiva, especificada de modo que el teorema fonamental de la geometria proyectiva es mantinga.

En esta definició, quan "V" té la dimensió dos, una colineación des de "PG"("V") a "PG"("W") és una aplicació α : D(V) → D(W), de modo que:

• El subespacio zero de V està aplicat al subespacio zero de W.
• V està aplicat a W.
• Hi ha una aplicació semilineal no singular β de V a W tal que, per a tot v en V,

$\alpha (⟨v⟩)=⟨\beta (v)⟩$

Este últim requisit garantisa que les colineaciones siguen totes aplicacions semilineales.

Tipos

Els principals eixemples de colineaciones són les transformacions llineals proyectivas (també conegudes com homografia) i les colineaciones automórficas. Per als espais proyectivos que provenen d'un espai llineal, el teorema fonamental de la geometria proyectiva establix que totes les colineaciones són una combinació d'estos, com es descriu a continuació.

Transformacions llineals proyectivas

Les transformacions llineals proyectivas (homografia) són colineaciones (els plans en un espai vectorial corresponen a llínees en l'espai proyectivo associat, i les transformacions llineals apliquen plans a plans, després les transformacions llineals proyectivas apliquen rectes a rectes), pero en general no totes les colineaciones són transformacions proyectivas llineals. El grup llineal proyectivo general és genèricament un subgrup propi del grup de colineación.

Colinelaciones automórficas

Una

colineación automórfica és una aplicació que, en coordenades, és un automorfisme aplicat a les pròpies coordenades.

Bibliografia

• (1998).«Projective Geometry / From Foundations to Applications».Cambridge University Press.
• (2000).«Inversion Theory and Conformal Mapping».American Mathematical Society.9
• (1948).«Projective Geometrie».Wolfenbütteler Verlagsanstalt.
• (2006).«Projective Geometry / An Introduction».Oxford University Press.
• (1933).«Inversive Geometry».G. Bell and Sons.
• (2012).«Geometry of Complex Numbers».Courier Dover Publications.
• (2004).«Geometry and Symmetry».Dover.