Recta de Euler

La recta de Euler és una recta en la que estan situats l'ortocentre, el circumcentre i el baricentre d'un triàngul;^[1] inclou al punt de Exeter i al centre de la circumferència dels nou punts notables d'un triàngul escaleno. Es denomina aixina en honor al matemàtic suís Leonhard Euler, qui va demostrar la colinealidad dels mencionats punts notables d'un triàngul, en 1765. Ademés, ell va ser qui va introduir el concepte de funció matemàtica, sent el primer en escriure f(x) per a referir-se a la funció f aplicada a l'argumente x.^[2]

La naturalea d'alguns de les seues més senzills descobriments és tal que un ben pot pensar en el fantasma de Euclides dient «Pero ¿cóm no se'm va ocórrer?»

H. S. M. Coxeter en relació al treball de Euler.^[3]

Euler va demostrar que en qualsevol triàngul l'ortocentre, el circumcentre i el baricentre estan alineats. Esta propietat amplia el seu domini de veres per al centre de la circumferència dels nou punts notables; que Euler no havia demostrat per a eixe temps. En els triànguls equiláteros, estos quatre punts coincidixen, pero en qualsevol atre triàngul no ho fan, i la recta de Euler està determinat per dos qualssevol d'ells. El centre de la circumferència dels nou punts notables es troba a mig camí a lo llarc de la llínea de Euler entre l'ortocentre i el circumcentre, i la distància des del centroide del circumcentre $\overline{G O}$ és la mitat que des del centroide fins al ortocentre $\overline{G H}$ .

Atres punts destacats que es troben en la recta de Euler són el punt de Longchamps, el punt Schiffler, el punt de Exeter i el punt far-out. No obstant, l'incentro es troba en la recta de Euler solament per a triànguls isósceles.

Equació de la recta

Sean A, B, C denoten els ànguls del vèrtiç del triàngul de referència, i siga x: i: z un punt variable en coordenades trilineales, a continuació, l'equació de la recta de Euler és:

sen (2 A) sen (B - C) x + sen (2 B) sen (C - A) y + sen (2 C) sen (A - B) z = 0

Una atra manera per a representar la llínea de Euler és en térmens d'un paràmetro t. Començant en el circumcentre i l'ortocentre:

\sec (A) : \sec (B) : \sec (C) = \cos (B) \cos (C) : \cos (C) \cos (A) : \cos (A) \cos (B)

Cada punt en la llínea de Euler, llevat l'ortocentre, es descriu com

\cos (A) + t \cos (B) \cos (C) : \cos (B) + t \cos (C) \cos (A) : \cos (C) + t \cos (A) \cos (B)

per a alguns t.

Centroide

\cos (A) + \cos (B) \cos (C) : \cos (B) + \cos (C) \cos (A) : \cos (C) + \cos (A) \cos (B)

Centre de la circumferència dels nou punts

\cos (A) + 2 \cos (B) \cos (C) : \cos (B) + 2 \cos (C) \cos (A) : \cos (C) + 2 \cos (A) \cos (B)

Punt de Longschamps

\cos (A) - \cos (B) \cos (C) : \cos (B) - \cos (C) \cos (A) : \cos (C) - \cos (A) \cos (B)

Punt de Euler infinit

\cos (A) - 2 \cos (B) \cos (C) : \cos (B) - 2 \cos (C) \cos (A) : \cos (C) - 2 \cos (A) \cos (B)

Demostració

En un triàngul ABC, es determinen D com el punt mig del costat BC i I com el punt mig del costat CA. Llavors AD i BE són mijanes que es intersecan en el baricentre G. Traçant les perpendiculars per D i I es localisa el circumcentre O.

A continuació es prolonga la recta OG (en direcció a G) fins a un punt P, de modo que PG tinga el doble de llongitut de GO (figura 1).

En ser G baricentre, dividix a les mijanes en raó 2:1; és dir: AG=2GD. D'esta manera

$\frac{A G}{G D} = 2 = \frac{P G}{G O}$ .

Per un atre costat, els ànguls AGP i DGO són oposts pel vèrtiç i per tant iguals. Estes dos observacions permeten concloure que els triànguls AGP i DGO són semblants.

Pero de la semblança es conclou que els ànguls PAG i ODG són iguals, i d'esta manera AP és paralela a OD. Finalment, ya que OD és perpendicular a BC, llavors AP també ho serà; és dir, AP és l'altura del triàngul.

1. Es construïx PG de modo que tinga el doble de llongitut de GO.

1. Es construïx PG de modo que tinga el doble de llongitut de GO.
2. Els triànguls AGP i DGO són semblants.

2. Els triànguls AGP i DGO són semblants.
3. Les rectes DO i AP són paraleles. Per tant AP és l'altura del triàngul.

3. Les rectes DO i AP són paraleles. Per tant AP és l'altura del triàngul.

Un argument similar prova que els triànguls BPG i EOG són semblants i per tant BP també és l'altura. Açò demostra que P és el punt d'intersecció de les altures i per tant P=H; és dir, P és l'ortocentre.

Vore també

Circumferència dels nou punts

Referències

↑ Fauring- Gutiérrez-Pedraza. Problemes d'entrenament. Ret Olímpica, Buenos Aires (2000) ISBN 987-9072-31-6
↑ https://soymatematicas.com/que-saps-de-euler/#::text=Euler%20intodujo%20el%20concepte%20de,coneix%20com%20n%C3%BAmero%20de%20Euler).
↑ Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). «1. Triànguls», Fonaments de Geometry (Introduction to Geometry), 2a edició, Limusa-Wiley. ISBN 978-0471504580.

Enllaços externs

Euler Line en MathWorld.
«Recta de Euler». Consultat el 13 d'octubre de 2010. «Demostració interactiva realisada en GeoGebra (en Java)»

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Recta de Euler» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Fauring- Gutiérrez-Pedraza. Problemes d'entrenament. Ret Olímpica, Buenos Aires (2000) ISBN 987-9072-31-6

[2] ttps://soymatematicas.com/que-saps-de-euler/#::text=Euler%20intodujo%20el%20concepte%20de,coneix%20com%20n%C3%BAmero%20de%20Euler).

[3] Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). «1. Triànguls», Fonaments de Geometry (Introduction to Geometry), 2a edició, Limusa-Wiley. ISBN 978-0471504580.

[1]

[2]

[3]