Teorema de Pascal

Archiu:Hexagrammum Mysticum.svg

Teorema de Pascal

Archiu:Teorema de Pascal+.svg

Teorema de Pascal. Recta de Pascal OPQ de l'hexàgon cíclico ABCDEF inscrit en una elipse.

Archiu:Pascal-6points.png

Recta de Pascal P₇P₈P₉ de l'hexàgon cíclico P₁P₂P₃P₄P₅P₆ inscrit en una elipse. Els costats oposts de l'hexàgon tenen el mateix color.

En l'àmbit de la geometria proyectiva, la teorema de Pascal (també denominat Hexagrammum Mysticum Theorem) establix que:

Si un hexàgon arbitrari ABCDEF es troba inscrit en alguna secció cònica no degenerada, i s'estenen els parells de costats oposts fins que es creuen, els tres punts OPQ en els que es intersecan es trobaran ubicats sobre una llínea recta, denominada la recta de Pascal d'esta configuració.

En la seua configuració més clàssica, la teorema se sol visualisar sobre un hexàgon cíclico inscrit en una elipse (és dir, en els seus vèrtiços units correlativamente en l'orde en que apareixen en recórrer la cònica). No obstant, la teorema també es complix siga com siga l'orde en el que es conecten els sis punts (d'acort en el concepte de hexàgon arbitrari que s'inclou en l'enunciat de la teorema). D'igual manera, es complix per a qualsevol cònica no degenerada (com és ben sabut, circumferència, elipse, paràbola o hipérbola).

Per eixemple, en la segona image es representa la materialisació de la teorema en un hexàgon autointersecante inscrit en una elipse, en el que els punts de la recta de Pascal resulten del tall dels propis costats del polígon, sense necessitat de prolongar-los.

Aixina mateix, també es complix en el cas de "hexàgons degenerados", en els que varis vèrtiços poden ser coincidentes entre sí (és dir, en costats de llongitut zero), en la pràctica polígons de 5, 4 o 3 costats. En estos casos, els costats se substituïxen per tangentes a la cònica en els punts donats.

La teorema de Pascal va ser descobert per Blaise Pascal, a qui deu el seu nom, en 1639, quan solament tenia setze anys.

Heurísticamente, es pot vore esta teorema com una generalisació del teorema de l'hexàgon de Pappus, que afirma lo mateix per a un parell de rectes (una cònica degenerada) i, per tant, seria un cas llímit de la teorema de Pascal. No obstant, la demostració d'este últim, com es pot llegir més alvance, usa la no degeneració de la cònica. Per tant, en realitat la teorema de Pappus no es pot demostrar com a conseqüència de la teorema de Pascal.

La teorema de Pascal és el dual proyectivo del teorema de Brianchon.

Archiu:ThBrianchon.png

Teoremes de Pascal-Brianchon

En la figura (Teoremes de Pascal-Brianchon) pot vore's una demostració de la teorema utilisant el concepte d'inversió i la propietat de que una figura és una recta si i solament si la seua inversa és una circumferència que passa pel centre d'inversió.

La teorema va ser generalisada per Möbius en 1847, en la següent forma: si un polígon en 4n + 2 costats es troba inscrit en una secció cònica, i es prolonguen els parells de costats oposts fins que es intersecan en 2n + 1 punts. Llavors si 2n punts es troben sobre una llínea comuna, el punt remanente també es trobarà ubicat sobre dita llínea.

El recíproc de la teorema també és cert, és dir, si un hexàgon és tal que els seus costats oposts es tallen en punts alineats, llavors està inscrit en una cònica.

Demostració

Implicació directa

Archiu:Teorema de Pascal+.svg

Diagrama de la demostració.

Siga $ABCDEF$ un hexàgon inscrit en una cònica. Sean $O=AB\cap DE,P=AF\cap CD,Q=VC\cap EF$ les interseccions dels seus costats oposts. Volem vore que $O,P,Q$ estan alineats.

A partir del recíproc del teorema de Steiner de generació de còniques es demostra que es pot definir la raó doble de quatre punts $P,Q,R,S$ sobre una cònica prenent un quart punt $M$ sobre la mateixa i calculant la raó doble de les rectes $PM,QM,RM,SM$ (és dir, que la raó doble d'estes rectes és independent de l'elecció arbitrària de $M$). A la seua volta, la raó doble de quatre rectes està ben definida com la raó doble dels quatre punts d'intersecció generats en tallar-les en una atra recta distinta (és dir, la raó doble dels punts generats és independent de l'elecció arbitrària de la recta de tall). Açò es pot demostrar usant que les perspectividades conserven la raó doble.

Anem a explotar els resultats anteriors, junt que les perspectividades conserven la raó doble, per a demostrar la teorema.

En primer lloc definim $G=BC\cap AF$ i $H=AB\cap CD$ (les interseccions no etiquetades de les rectes grises del dibuix). Calculem la raó doble $(B,A,C,E)$:

$(B,A,C,E)=\{\begin{array}{c}\stackrel{\text{fijando }F}{=}(FB,FA,FC,FE)\stackrel{\text{cortando con }BC}{=}(B,G,C,Q)\\ \stackrel{\text{fijando }D}{=}(DB,DA,DC,DE)\stackrel{\text{cortando con }AB}{=}(B,A,H,O)\end{array}(*)$

Considerem la perspectividad $f$ de $BC$ en $AB$ centre $P$. Tenim que $B\mapsto B,G\mapsto A,C\mapsto H,Q\mapsto f(Q)$, un cert punt (volem vore que és $O$). En efecte, com les perspectividades són proyectividades i, en particular, conserven la raó doble, tenim que $(B,A,H,f(Q))=(B,G,C,Q)\stackrel{(*)}{=}(B,A,H,O)$, en la qual cosa $f(Q)=O$ i, com $f$ és una perspectividad de centre $P$, qualsevol punt i la seua image deuen estar alineats en $P$, el centre. En particular, en este cas tenim que $O,P,Q$ estan alineats, que és lo que volíem demostrar. $◻$