Inversió (geometria)

Elements de la correspondència entre punts del pla per mig d'una inversió

Inversió de dos parelles d'hexàgons (una dins de la circumferència C, i l'atra fora; en els que s'han marcat els vèrtiços A, B, C i D), que generen els polígons els costats dels quals són arcs de circumferència (en els que s'han marcat els vèrtiços corresponents A', B', C' i D'). Es pot observar que les circumferències circumscrites en les que s'inscriuen els vèrtiços, seguixen sent circumferències una volta invertides

En geometria es denomina inversió a una aplicació que establix una correspondència biunívoca entre els punts de l'exterior i els punts de l'interior d'una circumferència donada en un pla, de manera que:

Es diu que dos punts $P$ i $P^{'}$ guarden una relació d'inversió sobre la circumferència $(C)$ de centre $O$ i ràdio $R$ , quan es complix que:

Els punts $P^{'}$ i $P$ estan sobre una mateixa semirrecta en orige en $O$

Les seues distàncies complixen l'igualtat:

$R^{2} = | \overline{O P} | \cdot | \overline{O P^{'}} |$

També pot explicar-se com, donats un punt fix O d'un pla un número real k distint de zero, s'entén per inversió de centre el punt O i potencia k a la transformació geomètrica que a cada punt P del pla se li fa correspondre un atre P' del mateix, alineat en P tal que es complix que OPxOP'=k.

Este procediment, quan s'aplica a distintes classes de llínees (com a rectes, circumferències o a diversos tipos de curves algebraiques), permet generar imàgens inverses d'estes llínees en propietats geomètriques reseñables.

Determinació del punt P' inversió de P

Archiu:Inversión Círculos.png

Inversió de dos circumferències (color vert), les imàgens del qual respecte a la circumferència roja són les circumferències blaves. Es pot observar que les imàgens dels centres, no coincidixen en els centres de les circumferències image

Archiu:Inversion.gif

Demostració gràfica de que l'image del centre d'una circumferència, no coincidix en el centre de la circumferència image

Per a determinar el punt $P^{'}$ , inversió del punt $P$ respecte a la circumferència $(C)$ de centre $O$ i ràdio $R$ , basta localisar el punt image buscat en la semirrecta $[O P$ , en la condició de que:^[1]

| \overline{O P^{'}} | = \frac{R^{2}}{| \overline{O P} |}

Casos especials:

El punt $P$ no pot coincidir en el punt central $M$ . Este problema es pot evitar introduint la condició adicional de que en este cas, el punt associat és el propi centre del círcul d'inversió $O$ .
Els punts del contorn de la circumferència ( $| \overline{O P} | = R$ ) guarden relació d'inversió conseguixc mateixos.

A sovint, és més important la posició de $O$ que el valor del radi $R$ elegit, de modo que en caràcter general es pot dibuixar una circumferència en radi arbitrari (per eixemple $R = 1$ ).

Determinació analítica

En el pla real

En un espai euclideo bidimensional (pla), el càlcul de l'inversió $P^{'}$ d'un punt $P$ respecte a una circumferència donada es determina de la forma següent:

En coordenades cartesianas:

Donat un sistema de coordenades cartesianas

(x, y)

en orige coincidente en el centre

O

de la circumferència

(C)

de radi

R

d'equació

x^{2} + y^{2} = R^{2}

, l'inversió pren la forma:

$(x, y) \to \frac{R^{2} \cdot (x, y)}{x^{2} + y^{2}}$

Si es pren

R = 1

, l'expressió queda reduïda a:

$(x, y) \to \frac{(x, y)}{x^{2} + y^{2}}$

En coordenades polars:

Donat un sistema de coordenades polars

(r, φ)

també en orige coincidente en el centre

O

de la circumferència

(C)

de radi

R

, la relació d'inversió pren una forma especialment simple:

$(r, φ) \to (\frac{R^{2}}{r}, φ)$

Si es fa que

R = 1

, llavors.

$(r, φ) \to (\frac{1}{r}, φ)$

Esta última forma justifica el terme inversió utilisat per a denominar a esta relació entre punts sobre una circumferència de radi 1.

En el pla complex

En el pla complex es definix l'aplicació d'inversió generalisada sobre un círcul unitari. En térmens d'número complejo, la transformació es caracterisa per l'aplicació següent:^[2]

z \mapsto \frac{1}{\overline{z}} = \frac{z}{| z |^{2}}

sent $z$ un número complejo i $\overline{z}$ el conjugat associat a l'número complejo.

Es pot vore que esta inversió està composta per una conjugació complexa i per una homografia.

En realitat es tracta d'un resultat general: donat un círcul d'inversió, s'elegixen tres punts $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ en este círcul, i es definix una única homografia $f$ que transforma $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ respectivament en $0, 1, \infty$ . A continuació es verifica que l'aplicació $f^{- 1} \circ c \circ f$ , a on $c$ denota la conjugació complexa, és precisament l'inversió buscada, i la seua expressió es compon d'una homografia i els resultats de la conjugació complexa de l'expressió de $f$ i $f^{- 1}$ com a homografia.

Esta funció enllaça en el grup circular, que és el conjunt de transformacions, definit de fet en la recta proyectiva complexa, que transforma rectes i circumferències en rectes i circumferències. En identificar la recta proyectiva complexa en l'esfera de Riemann, esta propietat de conservació s'expressa de manera més simple: les circumferències dibuixades en esta esfera es conserven. Està clar que les inversions pertanyen al grup circular; i és relativament simple demostrar lo mateix per a les homografia, lo que permet comprovar que el grup circular és generat per inversions i homografia.

En l'espai tridimensional

Si $O$ és l'orige en un sistema de coordenades cartesiano tridimensional, llavors es pot determinar l'inversió en l'esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ per mig de l'expressió:

$(x, y, z) \mapsto \frac{R^{2} \cdot (x, y, z)}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Construccions gràfiques

En regla i compàs

Archiu:Inversion am Kreis mit Zirkel und Lineal-es.svg

Figura 1: Construcció en regla i compàs per mig de tangentes del punt

P^{'}

, inversió de

P

respecte a la circumferència (roja): des de la recta que unix el centre del círcul

O

i el punt

P

, es traça per

P

una recta perpendicular; les dos tangentes en els seus dos punts d'intersecció en la circumferència es troben en el punt

P^{'}

Archiu:Dutta.svg

Construcció de Dutta, que permet trobar el punt A' invers de respecte a la circumferència P, independentment de (1) si A està fòra de P; o de (2) si A està dins de P

Per mig de tangentes

Si el punt $P$ està en la circumferència donada (és dir, $| \overline{O P} | = R$ ), llavors $P^{'}$ és igual a $P$ .

Si el punt $P$ es troba dins de la circumferència (Figura 1), es dibuixen la semirrecta $[O P$ i la cuerdo perpendicular a la semirrecta que passa per $P$ . Les dos tangentes a la circumferència en els punts extrems de la corda, es tallen en $P^{'}$ .

Si el punt $P$ està fòra de la circumferència, es dibuixen les dos tangentes a la circumferència des de $P$ utilisant el teorema de Tals. El tall del segment que unix els dos punts de tangència en la semirrecta $[O P$ determina el punt buscat $P^{'}$ .

Construcció de Dutta

Existix una construcció del punt invers de A sobre un círcul P que és independent de si A està dins o fòra de P.^[3]

Considere's un círcul P en centre O i un punt A que pot estar dins o fòra del círcul P.

Prendre el punt d'intersecció C del raig OA en el círcul P.
Conectar el punt C en un punt arbitrari B en el círcul P (diferent de C)
Siga h el reflex del raig BA en la llínea BC. Llavors, h talla el raig OC en un punt A', que és el punt invers de A sobre el círcul P.^[3]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}

Propietats geomètriques

La funció fa correspondre els punts de l'interior i de l'exterior de la circumferència d'inversió, mentres que els punts de la pròpia circumferència són punts fixos.
L'aplicació de l'inversió dos voltes successives reproduïx la situació inicial. Per lo tant, l'inversió és una involució.
L'inversió és una transformació conforme, és dir, preserva localment els ànguls d'incidència entre llínees. En particular, si dos objectes són tangentes entre sí, les seues inversions també ho són, i si dos objectes es tallen, les seues imàgens també ho fan.
L'inversió, com la reflexió, invertix l'orientació dels objectes.
Les llínees rectes que passen pel centre de la circumferència d'inversió es transformen en sí mateixes.
Les llínees rectes que no passen a través del punt central es transformen en circumferències que passen a través del centre de l'inversió.
Les circumferències que passen pel punt central es transformen en rectes que no passen pel centre.
Les circumferències que no passen a través del centre de la circumferència d'inversió es transformen també en circumferències. No obstant, l'image del centre de la circumferència original no es correspon en el centre de la circumferència image.
En particular, aquelles circumferències que es intersecan ortogonalment en la circumferència d'inversió, es té que les seues imàgens coincidixen en elles mateixes.
L'inversió no és una relació de congruència, és dir, no manté en l'image les proporcions de l'original.

Inversió de curves

Una inversió en geometria és una reflexió sobre una circumferència o a una esfera, de manera que a partir d'una curva donada, es pot obtindre la seua curva inversa. Són similars als casos de la reflexió ordinària sobre una llínea recta continguda en un pla o sobre un pla contingut en l'espai i tenen, aixina, les següents propietats:

a) Hi ha molts punts fixos: els punts de la circumferència/esfera a on es produïx la reflexió.

b) Es preserven localment els ànguls d'incidència entre llínees (especialment, els ànguls rectes).

c) Les reflexions sempre són involució, és dir, tornen la forma original quan s'apliquen sobre l'image d'una inversió prèvia.

No obstant, presenten diferències significatives:

1) Una inversió generalment assigna una llínea recta a una circumferència. En conseqüència, no és una aplicació colineal

2) Una inversió no conserva les llongituts.

Les inversions sempre han jugat un paper important en la geometria. Les imàgens inverses de còniques i cuádricas en l'espai són curves algebraiques de quart grau com a màxim, en propietats interessants (vegen-se els eixemples posteriors).

El procediment analític per a determinar l'equació de l'inversió d'una curva és el següent:

D'ací en avant, per simplicitat, se supon que el círcul d'inversió és el círcul unitari. La regla d'aplicació és llavors:

$(x, y) \mapsto (X, Y) = \frac{(x, y)}{x^{2} + y^{2}} y (X, Y) \mapsto (x, y) = \frac{(X, Y)}{X^{2} + Y^{2}} .$

Si $u \mapsto (x (u), y (u))$ és la representació paramètrica d'una curva, llavors

u \mapsto (X (u), Y (u)) = \frac{(x (u), y (u))}{x (u)^{2} + y (u)^{2}}

és la representació paramètrica de la curva image.

Si $f (x, y) = 0$ és la representació implícita d'una curva, llavors

f (\frac{X}{X^{2} + Y^{2}}, \frac{Y}{X^{2} + Y^{2}}) = 0

és la representació implícita de la curva image.

Recta

Archiu:Inv-kreis-gerade.svg

Inversió d'una circumferència i de dos llínees rectes

La llínea recta en l'equació $a x + b y + c = 0$ es transforma en la curva en l'equació $a \frac{X}{X^{2} + Y^{2}} + b \frac{Y}{X^{2} + Y^{2}} + c = 0$ respecte al círcul unitari. Esta equació és equivalent a

a X + b Y + c (X^{2} + Y^{2}) = 0

que en el cas $c = 0$ descriu la llínea recta original, i en el cas $c \neq 0$ és una circumferència a través de l'orige en l'equació

{(X + \frac{a}{2 c})}^{2} + {(Y + \frac{b}{2 c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4 c^{2}}

En els següents eixemples, en lloc de $X, Y$ , per simplicitat, s'usen $x, y$ (minúscules) para la curva image.

Circumferència

La circumferència en l'equació $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$ es transforma en la curva en l'equació $(\frac{x}{x^{2} + y^{2}} - x_{0})^{2} + (\frac{y}{x^{2} + y^{2}} - y_{0})^{2} = r^{2}$ , equivalent a

(x^{2} + y^{2}) (x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}) - 2 x x_{0} - 2 y y_{0} + 1 = 0

que descriu
en el cas $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = r^{2}$ (la circumferència inicial pansa per l'orige), la seua image és la «llínea recta»

2 x x_{0} + 2 y y_{0} = 1 .

Si $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \neq r^{2}$ , l'equació anterior pot ser transformada en

{(x - \frac{x_{0}}{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}})}^{2} + {(y - \frac{y_{0}}{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}})}^{2} = \frac{r^{2}}{(x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2})^{2}} .

Esta equació descriu una circumferència.
Si $x_{0} = y_{0} = 0$ , apareix de nou una circumferència en el punt zero com a punt central i ràdio $1 / r .$

Figures poligonales

Les figures poligonales, compostes indistintament per segments de recta o per arcs de circumferència, es transformen respectivament en noves figures poligonales els costats de les quals són arcs de circumferència o segments rectilíneos si estan lligats a l'orige de l'inversió. Com en el cas dels espills plans, el resultat d'invertir dos voltes successives (cap a dins o cap a fòra) la mateixa figura, implica que es recupera la quiralidad de la forma original. Encara que la relació d'inversió és recíproca (en la pràctica, l'image és l'inversió de la forma original, tant com la forma original ho és de la seua image), normalment es partix d'una figura reconeixible (a la que ací es denomina «orige»), sobre la que s'aplica la relació d'inversió, per a generar una nova figura desconeguda (a la que ací es denomina «image»). En general, quan la figura «orige» se situa fòra de la circumferència d'inversió o prop del seu contorn, les «imàgens» experimenten distorsió més o menys intenses. A mida que la figura orige s'acosta al centre d'inversió, les distorsió es magnifiquen de tal manera que resulta casi impossible intuir les figures originals a partir de les seues imàgens.

Archiu:Inversion doble.png	Archiu:Inversion rotulo 2.png
L'image mostra el resultat de dos processos successius d'inversió aplicats sobre un ròtul compost per segments de llínees rectes: 1.ª INVERSIÓN: S'aplica al ròtul de color vert sobre la circumferència roja, obtenint-se el ròtul cian 2.ª INVERSIÓN: S'aplica al ròtul de color cian sobre la circumferència magenta, obtenint-se el ròtul blau Despuix de la segona inversió, la figura recupera la seua quiralidad original	El rectàngul ABCD és una ampliació del rectàngul abcd. Les imàgens de les dos lletres del ròtul "INVERSION" més propenques al centre d'inversió (la "I", color gris, per l'esquerra i la "R",color blau clar, per la dreta), són pràcticament irreconeixibles

Paràbola

a) Una paràbola $y = x^{2}$ té la forma paramètrica $(u, u^{2})$ que es transforma en la curva $(\frac{1}{u (1 + u^{2})}, \frac{1}{1 + u^{2}})$ . La curva implícita $x^{2} - y = 0$ produïx l'equació $x^{2} - y (x^{2} + y^{2}) = 0$ para la curva image, que és l'equació d'una Cisoide de Diocles.

b) La paràbola $y = x^{2} - \frac{1}{4}$ s'assigna a una cardioide per mig de la reflexió circular utilisant l'equació $(x^{2} + y^{2} + 2 y)^{2} = 4 (x^{2} + y^{2})$ . L'inversió d'una paràbola produïx una cardioide sol si el centre d'inversió coincidix en el foc de la paràbola.

L'inversió d'una paràbola es pot associar a les seues rectes tangentes, que es transformen en una série de circumferències que passen a través del punt orige. En el cas de la cardioide, els centres d'estes circumferències també es troben en una circumferència que passa a través de l'orige i té radi 1.

Esta propietat s'utilisa per a dibuixar una cardioide com la envolvente d'un conjunt de circumferències:

1) Seleccione's una circumferència k i un punt O en ella

2) Dibuixen-se circumferències a través d'O en els seus centres en k

3) Dibuixe's la curva envolvente d'estes circumferències

Hipérbola

a) Una hipérbola en l'equació $x^{2} - y^{2} = 1$ es transforma per mig de la seua reflexió en el círcul unitari, en una lemniscata en l'equació $(x^{2} + y^{2})^{2} - (x^{2} - y^{2}) = 0$ (vore l'image).

b) L'inversió de l'hipérbola $(x - 1)^{2} - y^{2} = 1$ produïx el folium de Descartes $x^{2} - 2 x (x^{2} + y^{2}) - y^{2} = 0$ (vore l'image).

Óval cartesiano

Donat un óval cartesiano d'equació $|PS \pm m QS| = | a |$ , en expressió en coordenades polars:

(1 - m^{2}) ρ^{2} + 2 ρ (c m^{2} \cos θ + a) + (a^{2} - c^{2} m^{2}) = 0

llavors l'óval interior i l'óval exterior formen una inversió de centre $P$ i de raó $r^{2} = \frac{(a^{2} - m^{2} c^{2})}{(1 - m^{2})}$ .

Vore també

Referències

↑ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, S. 108 5.3 Inversion(H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, Volum 19, Mathematical Association of America, pp. 23 de 193. ISBN 9780883856192.)
↑ David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray: Geometry. Cambridge University Press 1999, 2. Auflage 2011, ISBN 9781107647831, S. 281–283 (H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, Volum 19, Mathematical Association of America, pp. 23 de 193. ISBN 9780883856192.)
↑ ^3,0 ^3,1 Dutta, Surajit (2014) A simple property of isosceles triangles with applications, Forum Geometricorum 14: 237–240

Bibliografia

Coxeter, H. S. M. i S. L. Greitzer: Geometria atemporal, Klett Stuttgart 1983
Roger A. Johnson: Geometria euclidiana alvançada. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 121-127 (publicat per primera volta en 1929 per Houghton Mifflin Company (Boston) baix el títul "Geometria moderna"), pp. 43-57
W. Blaschke: Conferències sobre geometria diferencial I , 1921, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-49388-1, pág. 66.
F. Borges: The Reflection on the Circle. Books on Demand, Norderstedt, 2015, ISBN 978-3-7347-9186-4.
R. Courant, H. Robbins: ¿Qué és Matemàtiques?, Springer-Verlag, 1967, ISBN 978-3-662-00054-0, pág. 125.
L. Felix: Matemàtiques elementals en representació moderna. Vieweg-Verlag, 1969, ISBN 978-3-322-96093-1, pág. 482.
K. Fladt: Geometria analítica de superfícies especials i curves espacials. Vieweg-Teubner-Verlag, ISBN 978-3-528-08278-9, pág. 201.
T. Needham:Teoria de la funció descriptiva. Oldenbourg-Verlag, 2001, ISBN 3-486-24578-3, pág. 144.
H. Schmidt: L'inversió i les seues aplicacions, 1950, Oldenbourg-Verlag.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Inversión (geometría)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[coxeter-1] Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, S. 108 5.3 Inversion(H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, Volum 19, Mathematical Association of America, pp. 23 de 193. ISBN 9780883856192.)

[2] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray: Geometry. Cambridge University Press 1999, 2. Auflage 2011, ISBN 9781107647831, S. 281–283 (H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, Volum 19, Mathematical Association of America, pp. 23 de 193. ISBN 9780883856192.)

[SD-3] 3,0 ^3,1 Dutta, Surajit (2014) A simple property of isosceles triangles with applications, Forum Geometricorum 14: 237–240

[1]

[2]

[3]

Plantilla:R/where