Orientació (espai vectorial)

Vore també: Orientació (geometria)

Archiu:Cartesian coordinate system handedness.svg

L'orientació de la mà esquerra es mostra a l'esquerra i la de la dreta a la dreta.

En matemàtiques, la orientació és una noció geomètrica que en dos dimensions permet dir quàn un gir es produïx en sentit horari o antihorario, i en tres dimensions si una figura és levógira o dextrógira. En àlgebra llineal, la noció d'orientació té sentit en una dimensió finita arbitrària. En esta configuració, l'orientació d'una base és un tipo d'asimetria que fa que una reflexió siga impossible de replicar per mig d'una rotació simple. Per lo tant, en tres dimensions, és impossible superpondre la mà esquerra d'una figura humana en la mà dreta aplicant una sola rotació, pero és possible fer-ho reflectint la figura en un espill. Com a resultat, en l'Espai euclídeo tridimensional, les dos orientacions de bases possibles es denominen segons la regla de la mà dreta i esquerra (o quiral a la dreta i quiral a l'esquerra).

L'orientació en un espai vectorial real és l'elecció arbitrària de quines bases ordenades estan orientades "positivament" i quines bases estan orientades "negativament". En l'espai euclídeo tridimensional, les bases a dreta generalment es declaren com orientades positivament, pero l'elecció és arbitrària, ya que també se'ls pot assignar una orientació negativa. Un espai vectorial en una orientació determinada es denomina espai vectorial orientat, mentres que un que no té una orientació declarada, es denomina no orientat.

Definició

Siga V un espai vectorial real de dimensió finita i siguen b₁ i b₂ dos bases ordenades de V. És un resultat estàndar en àlgebra llineal que existix una única aplicació llineal A: V → V que fa correspondre a b₁ en b₂. Es diu que les bases b₁ i b₂ tenen la mateixa orientació (o estan orientades consistentemente) si A té determinant positiu; de lo contrari, tenen orientacions opostes. La propietat de tindre la mateixa orientació definix una relació d'equivalència en el conjunt de totes les bases ordenades en V. Si V no és nul, hi ha exactament dos classes d'equivalència determinades per esta relació. Una orientació en V és l'assignació de +1 a una classe d'equivalència i −1 a l'atra.

Cada base ordenada pertany a una classe d'equivalència o a una atra. Per lo tant, qualsevol elecció d'una base ordenada privilegiada en V determina una orientació: la classe d'orientació de la base privilegiada es declara positiva.

Per eixemple, la base canònica en Rⁿ proporciona una orientació estàndar en Rⁿ (a la seua volta, l'orientació de la base estàndar depén de l'orientació de les coordenades cartesianas en les que està construït). Qualsevol elecció d'un isomorfisme llineal entre V i Rⁿ proporcionarà una orientació en V.

L'orde dels elements en una base és crucial. Dos bases en un orde diferent diferiran en alguna permutació. Tindran la mateixa o oposta orientació segons si la signatura d'esta permutació és +1 o −1. Açò es deu a que el determinant d'una matriu permutació és igual a la signatura de la permutació associada.

De manera similar, siga A una aplicació llineal no singular de l'espai vectorial Rⁿ sobre Rⁿ. Esta aplicació es diu que conserva l'orientació si el seu determinant és positiu. Per eixemple, en R³ una rotació al voltant de l'eix cartesiano Z en un àngul α conserva l'orientació:

${𝐀}_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

mentres que una reflexió segons el pla cartesiano XY no preserva l'orientació:

${𝐀}_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

Cas de dimensió zero

El concepte d'orientació degenera en el cas de dimensió zero. Un espai vectorial de dimensió zero té un sol punt, el vector zero. En conseqüència, l'única base d'un espai vectorial de dimensió zero és el conjunt buit $\mathrm{\varnothing }$. Per lo tant, existix una única classe d'equivalència de bases ordenades, és dir, la classe $\{\mathrm{\varnothing }\}$ l'únic membre de la qual és el conjunt buit. Açò significa que l'orientació d'un espai de dimensió zero és una funció

$\{\{\mathrm{\varnothing }\}\}\to \{\pm 1\}.$

Per lo tant, és possible orientar un punt de dos maneres diferents, positiva i negativa.

Ya que solament hi ha una única base ordenada $\mathrm{\varnothing }$, un espai vectorial de dimensió zero és el mateix que un espai vectorial de dimensió zero en una base ordenada. L'elecció de $\{\mathrm{\varnothing }\}\mapsto +1$ o $\{\mathrm{\varnothing }\}\mapsto -1$, per lo tant, determina una orientació de cada base d'un espai vectorial de dimensió zero. Si a tots els espais vectorials de dimensió zero se'ls assigna esta orientació, llavors, ya que tots els isomorfismes entre espais vectorials de dimensió zero conserven la base ordenada, també conserven l'orientació. Açò és diferent del cas dels espais vectorials de dimensió superior, a on no hi ha forma d'elegir una orientació per a que es conserve baix tots els isomorfismes.

No obstant, hi ha situacions en les que és desijable donar diferents orientacions a diferents punts. Per eixemple, considere's el teorema fonamental del càlcul com una instància del teorema de Stokes. Un interval tancat [a, b] és una varietat unidimensional, i el seu llímit és el conjunt {a, b}. Per a obtindre la declaració correcta de la teorema fonamental del càlcul, el punt b deu estar orientat positivament, mentres que el punt a deu estar orientat negativament.

En una llínea

El cas unidimensional tracta d'una recta, que pot recórrer-se en un de dos sentits possibles. Hi ha dos orientacions per a una recta, aixina com hi ha dos orientacions per a una circumferència. En el cas d'un segment (un subconjunt conexo d'una recta), les dos orientacions possibles donen com a resultat segments orientats. Una superfície orientable a voltes té l'orientació seleccionada indicada per l'orientació d'una recta perpendicular a la superfície.

Punts de vista alternatius

Àlgebra multilineal

Per a qualsevol espai vectorial real n-dimensional V es pot formar la késima-potència exterior de V, denotada com Λ^kV. Est és un espai vectorial real de dimensió $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. L'espai vectorial ΛⁿV (cridat potència exterior superior) té, per lo tant, la dimensió 1. És dir, ΛⁿV és solament una recta real. No hi ha una elecció a priori de quina direcció en esta llínea és positiva. Una orientació és solament una elecció. Qualsevol aplicació llineal ω no nula en ΛⁿV determina una orientació de V en declarar que x està en el sentit positiu quan ω(x)> 0. Per a conectar-se en el punt de vista establit per a les bases, es diu que les bases orientades positivament són aquelles en les que ω torna un número positiu (ya que ω és una n-forma es pot evaluar en un conjunt ordenat de n vectores, donant un element de R). La forma ω es diu una forma d'orientació. Si {i_i} és una base privilegiada de V i {i_i^∗} és la base dual, llavors la forma d'orientació que dona l'orientació estàndar és i₁^∗ ∧ i₂^∗ ∧ … ∧ i_n^∗.

La conexió d'açò en el punt de vista del determinant és: el determinant d'un endomorfisme $T:V\to V$ es pot interpretar com l'acció induïda per una potència exterior superior.

Teoria de grups de Lie

Siga B el conjunt de totes les bases ordenades de V. El grup llineal general GL (V) actua lliure i transitivamente en B (en un llenguage més formal, B és un GL (V)-torsor). Açò significa que com varietat, B és un homeomorfisme (no canònic) GL (V). Tinga's en conte que el grup GL(V) no és conexo, sino que té dos components conectats segons si el determinant de la transformació és positiu o negatiu (llevat para GL₀, que és el grup trivial i, per lo tant, té un únic component conectat; açò correspon a l'orientació canònica en un espai vectorial de dimensió zero). El component identitat de GL(V) es denota GL⁺(V) i consistix en les transformacions en determinant positiu. L'acció de GL(V) en B és no transitiva: hi ha dos òrbites que corresponen als components conectats de B. Estes òrbites són precisament les classes d'equivalència mencionades anteriorment. Com a B no té un element distinguit (és dir, una base privilegiada), no existix una elecció natural de quin component és positiu. Açò contrasta en GL(V), que té un component privilegiat: el component de l'identitat. Una elecció específica d'homeomorfisme entre B i GL(V) és equivalent a una elecció d'una base privilegiada i, per lo tant, determina una orientació.

Més formalment: ${\pi }_0(\mathrm{GL}(V))=(\mathrm{GL}(V)/{\mathrm{GL}}^{+}(V)=\{\pm 1\}$, i la varietat de Stiefel de n: marcs en $V$ són un $\mathrm{GL}(V)$-torsor, per lo que $V_n(V)/{\mathrm{GL}}^{+}(V)$ és un torsor sobre $\{\pm 1\}$, és dir, els seus 2 punts, i l'elecció d'un d'ells comporta una orientació.

Àlgebra geomètrica

Archiu:Wedge product. caps block 14

Segments del pla paralel en la mateixa posició, magnitut i orientació, tots corresponents al mateix bivector a ∧ b.

Els diversos objectes del àlgebra geomètrica posseïxen tres atributs o característiques: posició, orientació i magnitut.

Per eixemple, un vector té una posició donada per una llínea recta paralela a ell, una orientació donada pel seu sentit (a sovint indicat per una punta de flecha) i una magnitut donada per la seua llongitut. De manera similar, un bivector en tres dimensions té una posició donada per la família de plans associada (possiblement especificada per una recta normal comuna a estos plans), una orientació (a voltes indicada per una flecha curva en el pla) que indica una elecció del sentit de recorregut del seu llímit (la seua circulació), i una magnitut donada per l'àrea del paralelogramo definit pels seus dos vectores.