Torsor
En mecànica, un torsor (del francés torseur) és un element del càlcul algebraic que consistix en un parells de vectores, com a forces i moments o velocitat angular i llineal, que sorgixen en la mecànica del sòlit rígit.[1][2][3][4] El terme similar torsor també és usat en geometria algebraica per a definir un fibrado principal.
El marc matemàtic va ser desenrollat en 1876 per Robert Stawell Ball (1840-1913) per a la seua aplicació en cinemàtica i estàtica de cossos rígits.[5]
Proporciona una formulació matemàtica per a la geometria llineal que servix de fonament per a la mecànica del sòlit rígit, a on les rectes formen els eixos de torsió del moviment espacial i les llínees d'acció de les forces. El parell de vectores que formen les coordenades plückerianas d'una recta, definix un torsor unitari, i els torsores generals s'obtenen per mig de la multiplicació d'un parell d'número real i l'adició de vectorés.[5] Estos elements numèrics, assimilables a bivectorés, es van a denominar en el present artícul torsores.
Un resultat important és que els càlculs geomètrics en punts lligats a vectores posseïxen càlculs geomètrics paralels per a les llínees obtingudes en reemplaçar vectores per torsores. Este fet es denomina el principi de transferència.[6]
Els torsores s'han convertit en una ferramenta important en la robòtica, en el disseny mecànic,[7][8] en la geometria computacional i en els sistemes multicuerpo.
Açò es deu en part a la relació entre els torsores i els cuaterniones duals, utilisats per a interpolar el moviment d'un cos rígit.[9] Basant-se en la torsores, també s'ha desenrollat un enfocament eficient per a la síntesis de tipos de mecanismes paralels (manipuladors paralels o robots paralels).[10]
Les teoremes fonamentals inclouen el teorema de Poinsot (Louis Poinsot, 1806) i el teorema de Chasles (Michel Chasles, 1832).
Felix Klein va vore els torsores com una aplicació de la geometria elíptica, lligada a la seua Programa de Erlangen.[11] També va elaborar una geometria elíptica i una nova visió de la geometria euclidiana en la mètrica de Cayley-Klein
Harvey Lipkin va descriure l'us d'una matriu simètrica[12] per a definir una cònica de von Staudt i una mètrica, aplicats als torsores. Atres autors en aportacions destacades inclouen a Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt, i J. R. Phillips.[13]
Conceptes bàsics
[editar | editar còdic]
Un desplaçament espacial d'un cos rígit pot definir-se per una rotació al voltant d'una recta i una translació sobre la mateixa recta, cridat desplaçament torsorial. Açò es coneix com el teorema de Chasles. Els sis paràmetros que definixen el desplaçament torsorial són els quatre components independents del vector de Plücker que definixen l'eix de l'hèliç, junt en l'àngul de rotació entorn i l'esmonyida llineal paralela a l'eix, i formen un parell de vectores cridat torsor. Análogamente, els sis paràmetros que definixen un desplaçament espacial també poden ser donats pels tres ànguls de Euler que definixen la rotació i els tres components del vector de translació.
Torsor
[editar | editar còdic]Un torsor és un vector de sis dimensions construït a partir d'un parell de vectores de tres dimensions, com la força i la velocitat llineal i angular, que sorgixen en l'estudi del moviment espacial d'un cos rígit. Les components d'un torsor definixen les coordenades plückerianas d'una recta en l'espai i les magnituts del vector en la recta i el seu moment.
Torsor estàtic
[editar | editar còdic]Els vectores de força i moment de força que sorgixen en aplicar les lleis de Newton a un cos rígit es poden associar en un torsor cridat torsor estàtic.[1] Una força té un punt d'aplicació i una llínea d'acció, per lo tant, definix les coordenades plückerianas d'una llínea en l'espai, i té un pas zero. Un parell de torsió, per un atre costat, és un moment pur que no està vinculat a una recta en l'espai i és un torsor de pas infinit. La relació d'estes dos magnituts definix el pas del torsor.
Torsor cinemàtic
[editar | editar còdic]Un torsor cinemàtic[1]representa la velocitat d'un cos rígit com una velocitat angular al voltant d'un eix i una velocitat llineal en este eix. Tots els punts en el cos tenen la mateixa component de la velocitat sobre l'eix, no obstant, quant major siga la distància a l'eix, major serà la velocitat en el pla perpendicular a este eix. Per lo tant, el camp torsorial format pels vectores de velocitat en un cos rígit en moviment es aplana a mida que els punts se separen radialmente de l'eix de torsió.
Els punts en un cos somesos a un moviment de torsor constant descriuen trayectòries torsorial respecte a un marc fix. Si este moviment de torsorial té un pas zero, les trayectòries tracen círculs, i el moviment és una rotació pura. Si el moviment del torsor té un pas infinit, llavors totes les trayectòries són llínees rectes en la mateixa direcció, i es tracta d'una translació.
Àlgebra de torsores
[editar | editar còdic]Siga un torsor un parell ordenat en la forma
a on S i V són vectores reals tridimensionals. La suma i la diferència d'estos parells ordenats es calculen per components. Els torsores a sovint es diuen vectores duals.
Ara, introduïxca's el parell ordenat d'número real â = (a, b) cridats escalares duals. Que la suma i la resta d'estos números siguen components i définase la multiplicació com
La multiplicació d'un torsor S = (S, V) per l'escalar dual â = (a, b) es calcula en forma de components per a que siga,
Finalment, s'introduïxen els productes escalar i vectorial de torsores per mig de les fòrmules:
que és un doble escalar, i
que és un torsor. Els productes escalar i vectorial de torsores satisfan les identitats de l'àlgebra vectorial, i permeten càlculs que són directament anàlecs als càlculs en l'àlgebra de vectores.
Siga l'escalar dual ẑ = (φ, d) que definix un àngul dual, llavors les definicions de séries infinites de sen i coseno produïxen les relacions
En general, la funció d'una variable dual es definix com a f(ẑ) = (f(φ), df′(φ)), a on f′(φ) és la derivada de f(φ).
Estes definicions permeten obtindre els següents resultats:
- Els torsores unitaris són les coordenades plückerianas d'una recta i satisfan la relació
- Siga ẑ = (φ, d) l'àngul dual, a on φ és l'àngul entre els eixos de S i T al voltant del seu normal comú, i d és la distància entre estos eixos respecte a la normal comuna, llavors
- Siga N el torsor unitari que definix la normal comuna als eixos de S i T, i ẑ = (φ, d) és l'àngul dual entre estos eixos, llavors
Vore també
[editar | editar còdic]- Eix helicoidal
- Equacions de Newton-Euler, que utilisen torsores per a descriure els moviments rígits del cos i les seues càrregues
- Trigonometria racional
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ 1,0 1,1 1,2 Rodríguez, Ricardo López (2005). Torsores (en és), Editorial Tebar. ISBN 978-84-7360-218-1.
- ↑ Ercilla, Santiago Burbano de (2003). Física general (en és), Editorial Tebar. ISBN 978-84-95447-82-1.
- ↑ Anals d'Ingenieria Mecànica.1(24)ISSN 3045-400X.doi:10.63450/aim.1.41.2025.Consultat el 2026-06-01.
- ↑ (1998) Física: curs teòric-pràctic de fonaments físics de l'ingenieria (en és), Editorial Tebar. ISBN 978-84-7360-187-0.
- ↑ 5,0 5,1 Ball, R. S. (1876). The theory of screws: A study in the dynamics of a rigid body, Hodges, Foster.
- ↑ Geometric Design of Linkages, Springer. ISBN 978-1-4419-7892-9.
- ↑ Featherstone, Roy (1987). Robot Dynamics Algorithms, Kluwer Academic Pub. ISBN 978-0-89838-230-3.
- ↑ Featherstone, Roy (2008). Robot Dynamics Algorithms, Springer. ISBN 978-0-387-74315-8.
- ↑ Selig, J. M. (2011) "Rational Interpolation of Rigid Body Motions," Advances in the Theory of Control, Signals and Systems with Physical Modeling, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Volume 407/2011 213–224, doi:10.1007/978-3-642-16135-3_18 Springer.
- ↑ Type Synthesis of Parallel Mechanisms, Springer. ISBN 978-3-540-71990-8.
- ↑ Felix Klein (1902) (D.H. Delphenich translator) On Sir Robert Ball's Theory of Screws
- ↑ Harvey Lipkin (1983) Metrical Geometry [enllaç trencat] del Institut de Tecnologia de Geòrgia
- ↑ Clifford, William Kingdon (1873), "Preliminary Sketch of Biquaternions", Paper XX, Mathematical Papers, p. 381.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Torsor» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.