Trigonometria racional
La trigonometria racional és una reformulación de la mètrica del pla i de la geometria de l'espai (que inclou la trigonometria) proposta pel matemàtic canadenc Norman J. Wildberger, professor associat de matemàtiques en l'Universitat de Nova Gales del Sur. Les seues idees s'exponen en el seu llibre de 2005 "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" (Proporcions divines: de la Trigonometria Racional a la Geometria Universal).[1] Segons la revista New Scientist, part de la seua motivació per a una alternativa a la trigonometria tradicional era evitar alguns problemes que afirma que ocorren quan s'usen séries infinites en matemàtiques. La trigonometria racional evita l'us directe de funcions transcendentes com el sen i les funcions trigonométricas, substituint-les pels seus equivalents al quadrat.[2] Wildberger s'inspira en els matemàtics anteriors a la teoria de conjunts infinits de Georg Cantor, com Carl Friedrich Gauss i Euclides, els qui assegura que eren molt més cautelosos en usar conjunts infinits que els matemàtics moderns.[2][nb 1] Fins a la data, la trigonometria racional no es menciona en la lliteratura matemàtica convencional.
Enfocament
[editar | editar còdic]La trigonometria racional seguix un enfocament basat en aplicar els métodos del àlgebra llineal als temes de geometria elemental (nivell de secundària). El concepte de distància es reemplaça pel seu valor al quadrat (cuadranza) i l'idea de àngul es reemplaça pel valor al quadrat de la proporció del sen usual (extensió) associat a qualsevol àngul entre dos llínees. (El complementari de la extensió, conegut com a creuament, també correspon a una forma escalada del espai prehilbertiano entre segments de llínea presos com vectores). Les tres lleis principals de la trigonometria, el teorema de Pitágoras, el teorema dels sens i el teorema del coseno, es donen en forma racional (en equivalència als valors al quadrat) i es complementen en atres dos lleis: la fòrmula de la cuadranza triple (que relaciona les cuadranzas de tres punts colineales) i la fòrmula de l'extensió triple (relacionada en les extensions de tres llínees concurrents), donant les cinc lleis fonamentals del tema.
La trigonometria racional, per lo demés, es basa àmpliament en la geometria analítica cartesiana, en un punt definit com un parell ordenat de número racional
i una llínea en la forma
una equació de primer grau general en coeficients racionals a, b i c.
En evitar els càlculs que depenen d'operacions com la raïl quadrada que donen solament distàncies aproximades entre punts o funcions trigonométricas estàndar (i les seues inverses), donar solament polinomis truncats com a aproximacions d'ànguls (o les seues proyeccions), la geometria es torna completament algebraica. En atres paraules, no s'assumix l'existència de solucions en forma de número real als problemes, sino que els resultats es donen en el camp dels número racional, el seu extensió algebraica o cos finito. A continuació, s'afirma, açò fa que molts resultats clàssics de la geometria euclidiana s'apliquen en forma racional (per mig d'anàlecs quadràtics) sobre qualsevol camp que no siga de característica dos.
El llibre Proporciones divines mostra l'aplicació del càlcul utilisant funcions trigonométricas racionals, que inclouen càlculs de volum tridimensional. També s'ocupa de l'aplicació de la trigonometria racional a situacions que involucren elements irracionals, com la prova de que tots els sòlits platònics tenen diferencials racionals entre les seues cares.[nb 2]
Repercussió i crítica
[editar | editar còdic]La trigonometria racional es menciona solament en un número modest de publicacions matemàtiques, ademés d'en els propis artículs i llibres de Wildberger. Proporcions divines va ser descartada pel crític Paul J. Campbell, qui va escriure en el Mathematics Magazine de la Mathematical Association of America (MAA): "L'autor afirma que esta nova teoria requerirà 'menys de la mitat del temps habitual per a deprendre'; pero ho dubte, i encara tindria que estar conectat en els conceptes i la notació tradicionals".
El crític William Barker, professor Isaac Wing de Matemàtiques en el Bowdoin College, que també va escriure per a el MAA, va ser més aprobador: "«Proporcions divines» és sense dubtes una valiosa adició a la lliteratura matemàtica. Desenrolla cuidadosadament un pensament estimulant, inteligent, i un enfocament alternatiu útil per a la trigonometria i la geometria euclidiana. No seria sorprenent que alguns dels seus métodos finalment es filtren en el desenroll estàndar d'estos temes. No obstant, a menos que hi haja un canvi inesperat en els punts de vista acceptats dels fonaments de les matemàtiques, la trigonometria racional no mostra raons de pes per a reemplaçar a la teoria clàssica".[3]
Amanda Gefter, de New Scientist, va descriure l'enfocament de Wildberger com un eixemple de finitismo.[2] James Franklin en The Mathematical Intelligencer va argumentar que el llibre mereixia una consideració cuidadosa.[4]
Un anàlisis de Michael Gilsdorf dels mateixos eixemples de problemes trigonométricos utilisats per Wildberger en un artícul anterior, va concloure que una de les afirmacions efectuades (que la trigonometria racional pren menys passos per a resoldre "la majoria" dels problemes en comparació als métodos clàssics) pugues no ser certa si és lliure la selecció de métodos que està disponible per a la solució òptima d'un problema; com usar la fòrmula de l'àrea de Gauss per a l'àrea d'un triàngul a partir de les coordenades dels seus vèrtiços, o aplicar el cas especial de la teorema de Stewart directament a un triàngul en una mijana coneguda. Sobre la pedagogia, i si les cantitats quadràtiques introduïdes per la trigonometria racional oferixen beneficis reals sobre l'aprenentage tradicional del subjecte, l'autor va fer observacions adicionals de que la trigonometria clàssica no es basava en l'us de series de Taylor per a aproximar ànguls, sino en medicions de la cuerdo (dos voltes el sen d'un àngul), i aixina, en una comprensió adequada, els estudiants podrien obtindre ventages de l'us continuat de la medició llineal sense les incoherències llògiques reclamades quan s'introduïx posteriorment la parametrización circular per mig de l'àngul.[5]
Vore també
[editar | editar còdic]Notes
[editar | editar còdic]- ↑ For Wildberger's views on the history of infinity, see the Gefter New Scientist article, but also see Wildberger's History of Mathematics and Math Foundations lectures, University of New South Wales, circa 2009–2014 in more than 120 videos and lectures, available online youtube
- ↑ Vore Divine Proportions para numerosos eixemples de càlcul fet en funcions trigonométricas racionals, aixina com també problemes que involucren l'aplicació de la trigonometria racional a situacions que contenen elements irracionals.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Wildberger, Norman John (2005). Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry, 1 edició, Austràlia: Wild Egg Pty Ltd. ISBN 0-9757492-0-X.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 "Infinity's end: Clave to ditch the never-ending story?" by Amanda Gefter, New Scientist, 15 August 2013
- ↑ http://www.maa.org/publications/maa-reviews/divine-proportions-rational-trigonometry-to-universal-geometry
- ↑ J. Franklin, Review of Divine Proportions, Mathematical Intelligencer 28 (3) (2006), 73-4.
- ↑ https://web.maths.unsw.edu.au/norman/papers/TrigComparison.pdf
Referències generals
[editar | editar còdic]- Una comparació de trigonometria clàssica i racional
- Trigonometria racional aplicada a la robòtica, per João Pequito Almeida
- L'Impossibilitat de Trisecting i Angle with Straightedge and Compass: Un Acostament Usant la Trigonometria Racional, per David G. Poole
- Cóm multiplicar i dividir triànguls, per Maurice Craig
- Este artícul conté una traducció derivada de «Trigonometría racional» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.