Fòrmula de l'àrea de Gauss

El creuament de productes de coordenades amprat en esta fòrmula.

La Fòrmula de l'àrea de Gauss, Fòrmula de la Lazada o Algoritme de la Lazada, és un algoritme matemàtic usat per a calcular l'àrea d'un polígon simple els vèrtiços del qual estan descrits com a parells de coordenades en el pla.

És conegut com a fòrmula de la lazada pel constant creuament de productes de les corresponents coordenades de cada parell de vèrtiços, similar en nugar una lazada. També rep el nom de Fòrmula de l'àrea de Gauss en honor a Carl Friedrich Gauss. Té múltiples aplicacions en agrimensura i topografia entre atres àrees.

Formulació

La fòrmula pot representar-se per mig de l'expressió:

$\begin{array}{cc}𝐀& =\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i{y}_{i+1}+x_n{y}_1-\sum _{i=1}^{n-1}{x}_{i+1}{y}_i-x_1{y}_n|\\ & =\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+\cdots +x_{n-1}{y}_n+x_n{y}_1-x_2{y}_1-x_3{y}_2-\cdots -x_n{y}_{n-1}-x_1{y}_n|\\ \end{array}$

a on

• A és l'àrea del polígon,
• n és el número de costats del polígon, i
• (x_i, i_i), i = 1, 2,..., n són els vèrtiços del polígon.

de forma alternativa:

$𝐀=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n{x}_i(y_{i+1}-y_{i-1})|=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n{y}_i(x_{i+1}-x_{i-1})|=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i|=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n\det \left(\begin{array}{cc}{x}_i& x_{i+1}\\ y_i& y_{i+1}\end{array}\right)|$

a on, en tractar-se d'un polígon cíclico x_n+1 = x₁ i x_n = x₀, de la mateixa manera que i_n+1 = i₁ i i_n = i₀.

Si els vèrtiços del polígon estan llistats de forma seqüencial en sentit antihorario, llavors cada u dels determinants del sumatorio anterior és positiu, i l'operador de valor absolut pot ser omés; Si els vèrtiços estan llistats en sentit horari, el determinant serà sempre negatiu. Açò es deu a que la fòrmula pot ser vista com un cas especial del Teorema de Green.

Esta propietat té una important aplicació en geometria computacional, puix permet analisar el signe de l'equació anterior per a determinar si una seqüència de vèrtiços es troba ordenada en sentit horari o antihorario.

Eixemples

L'usuari deu conéixer les coordenades dels vèrtiços del polígon en un pla cartesiano. Per eixemple, donat el triàngul en coordenades {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}.

Prenga la primera coordenada x i multiplique-la per la segona coordenada i, després prenga la segona coordenada x i multiplique-la per la tercera coordenada i, i repetixca fins a fer-ho para tots els vèrtiços. Açò pot definir-se per mig de la següent fòrmula:

${𝐀}_{\text{tri.}}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1-x_2{y}_1-x_3{y}_2-x_1{y}_3|$

a on x_i i i_i representen la respectives coordenades. Esta fòrmula és l'expansió de la formulació anterior per al cas n = 3. Un pot trobar que l'àrea del triàngul és igual a la mitat del valor absolut de 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, que és igual a 3. El número de variables depén del número de costats del polígon. Per eixemple, un pentàgon definiria coordenades fins a x₅ i i₅:

${𝐀}_{\text{pent.}}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_4+x_4{y}_5+x_5{y}_1-x_2{y}_1-x_3{y}_2-x_4{y}_3-x_5{y}_4-x_1{y}_5|$