Teorema del coseno

Archiu:Law of cosines with acute angles.svg

Teorema del coseno

La teorema del coseno, denominat també com a llei de cosenos o teorema del-Kashi, és una generalisació del teorema de Pitágoras en els triànguls rectànguls en trigonometria.

La teorema relaciona un costat d'un triàngul qualsevol en els atres dos i en el coseno del àngul format per estos dos costats:

Donada un triàngul ABC qualsevol, sent α, β, γ, els ànguls, i a, b, c, els costats respectivament oposts a estos ànguls llavors: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

En la majoria dels idiomes, esta teorema és coneguda en el nom de teorema del coseno, denominació no obstant relativament tardana. En francés, no obstant, du el nom del matemàtic persa Ghiyath al-Kashi que va unificar els resultats dels seus predecessors.

Archiu:Triangle with notations 2.svg

Fig. 1 - Notació més habitual d'un triàngul.

Història

Els Elements d'Euclides, que daten de el III, contenen ya una aproximació geomètrica de la generalisació del teorema de Pitágoras: les proposicions 12 i 13 del llibre II, tracten separadament el cas d'un triàngul obtusàngul i el d'un triàngul acutángulo. La formulació de l'época és arcaica ya que l'absència de funcions trigonométricas i del àlgebra va obligar a raonar en térmens de diferències d'àrees. Per això, la proposició 12 utilisa estos térmens:

En els triànguls obtusànguls, el quadrat del costat opost a l'àngul obtús és major que els quadrats dels costats que comprenen l'àngul obtús en dos voltes el rectàngul comprés per un costat dels de l'àngul obtús sobre el que cau la perpendicular i la recta exterior tallada per la perpendicular, fins a l'àngul obtús.

Euclides, Elements.

Sent ABC el triàngul, l'àngul obtús del qual està en C, i BH l'altura respecte del vèrtiç B (cf. Fig. 2 contigua), la notació moderna permet formular l'enunciat aixina:

Archiu:Obtuse-triangle-with-altitude.png

Fig. 2 - Triàngul ABC en altura BH.

$A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2+2CACH$

Faltava esperar la trigonometria àrap-musulmana de l'Edat Mija per a vore la teorema evolucionar a la seua forma i en el seu alcanç: l'astrònom i matemàtic al-Battani va generalisar el resultat de Euclides en la geometria esfèrica a principis de el X, lo que va permetre efectuar els càlculs de la distància angular entre el Sol i la Terra. Va ser durant el mateix periodo quan es varen establir les primeres taules trigonométricas, per a les funcions sen i coseno. Això va permetre a Ghiyath al-Kashi, matemàtic de l'escola de Samarcanda, de posar la teorema baixa una forma utilisable per a la triangulació durant el XV. La propietat va ser popularisada en occident per François Viète qui, segons pareix, ho redescubrió independentment.

Va ser a finals de el XVII quan la notació algebraica moderna, aünada a la notació moderna de les funcions trigonométricas introduïda per Euler en el seu llibre Introductio in analysin infinitorum, varen permetre escriure la teorema baixa la seua forma actual, estenent-se el nom de teorema (o llei) del coseno.

La teorema i les seues aplicacions

La teorema del coseno és també conegut pel nom de teorema de Pitágoras generalisat, ya que el teorema de Pitágoras és un cas particular: quan l'àngul

$\gamma$

és recte o, dit d'un atre modo, quan

$\cos \gamma =0$

, la teorema del coseno es reduïx a:

Archiu:Triángulo con un ángulo o un lado desconocido.svg

Fig. 3 - Utilisació de la teorema del coseno: àngul o costat desconegut.

$c^2=a^2+b^2$

que és precisament la formulació de la teorema de Pitágoras.

La teorema s'utilisa en triangulació (vore Fig. 3) per a resoldre un triàngul, i saber determinar:

• el tercer costat d'un triàngul quan coneixem un àngul i els costats adjacents:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }$.

• els ànguls d'un triàngul quan coneixem els tres costats:

$\gamma =\arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

Archiu:Demostración del Teorema del Coseno.gif

Fig. 3b - Variació de l'hipotenusa d'acort en l'àngul opost, mantenint catetos fixos.

Estes fòrmules són difícils d'aplicar en el cas de medicions de triànguls molt aguts utilisant métodos simples, és dir, quan el costat c és molt chicotet respecte els costats a i b —o el seu equivalent, quan l'àngul γ és molt menut.

Existix un corolari de la teorema del coseno per al cas de dos triànguls semblants ABC i A'B'C'

$c{c}^{\prime }=a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }-(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b)\cos \gamma$.

Vore també

• Trigonometria
  • Triangulació
  • Trigonometria esfèrica
  • Funció trigonométrica
• Geometria del triàngul
  • Teorema de Pitágoras
  • Teorema del sen

• Matemàtics
  • Euclides
  • Al-Battani
  • Ghiyath al-Kashi
  • François Viète

Bibliografia

• Els Elements, tom II, Euclides.
• Law of cosines en MathWorld.
• Pogorélov, A. V. (1974). Geometria elemental. Editorial Mir, Moscou.