Programa de Erlangen

Fotografia de Felix Klein.

Es coneix com a Programa de Erlangen a un programa d'investigació publicat per Felix Klein en 1872 en el títul de Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Este Programa de Erlangen — Klein estava en eixe llavors en Erlangen — va propondre un nou tipo de solució als problemes de la geometria de l'época. L'artícul en sí supon una verdadera fita en la història de la geometria i de la Matemàtica en general.

El Programa de Erlangen

En motiu del seu ingrés com a professor en la Facultat de Filosofia i al Senat de l'Universitat de Erlangen, Klein va escriure una memòria en 1872 (que no va aplegar a llegir en públic) que pot considerar-se, junt als aportes de Riemann i als Elements de Euclides, com els punts essencials de l'estudi de la Geometria.

L'idea de la memòria, coneguda com el Programa de Erlangen, és prou senzilla. Es tracta de donar una definició formal de lo que és una geometria, més allà de l'idea més o menys intuïtiva que tenim d'ella.

Davant l'aparició de les noves geometria no euclidianas, sembla llògic preguntar-se qué és la Geometria, máxime quan la pròpia idea de la geometria euclidiana s'hi havia vist modificada des de l'irrupció dels métodos algebraics i analítics. Escomença a no estar tan clar que la Geometria siga l'estudi de punts, llínees (rectes o curves) i superfícies, ya que el propi Anàlisis Matemàtic (sobretot en l'estudi d'Equacions Diferencials) sembla estudiar també tals objectes. Per una atra part, els métodos analítics i algebraics també són aplicables a les geometria no euclidianas. Hi ha, digam, dos nivells de distincions: per un costat, la de les geometria no euclidianas i la geometria euclidiana, per un atre costat, la distinció entre el método sintètic, l'algebraic i l'analític.

¿Qué és llavors la Geometria?

Klein dona resposta a esta pregunta introduint en la Geometria un nou concepte de caràcter algebraic: el concepte de grup. Un grup és un conjunt $G$ en el que hi ha definida una operació, és dir, una aplicació $G\times G⟶G$ que a cada parell d'elements del conjunt li assigna un atre element del conjunt (que serà el resultat d'operar dits dos elements). Mentres que la majoria de la gent està familiarizada en les operacions numèriques, els resulta difícil imaginar que puguen operar-se punts, rectes, etc. Pot fer-se, i no hi ha més que pensar en, per eixemple, l'operació "prendre el punt mig", que a cada parell de punts li assigna el punt mig del segment que unix els dos primers punts.

Per a que un conjunt en el que hi haja una operació siga un grup deuen complir-se certes condicions, que són:

L'operació deu ser associativa: açò vol dir que si prenem qualssevol tres elements $a,b,c$ del conjunt, el resultat d'operar els dos primers ($a$ i $b$) i operar el resultat d'això en el tercer ($c$) deu ser lo mateix que si primer operem el segon i el tercer ($b$ i $c$) i el resultat ho operem en el primer ($a$). És dir, si l'operació la denotem per $\star$ ha d'ocórrer que $a\star (b\star c)$ deu ser lo mateix que $(a\star b)\star c$.

Deu existir un element neutre: açò vol dir que ha d'haver un element $e$ del conjunt de manera que si prenc qualsevol atre element $a$ del conjunt i ho va operar en ell, llavors el resultat torna a ser l'element $a$, és dir, és com si a l'element $a$ no ho haguera operat. Aixina, en la nostra notació, $e\star a=a$ i $a\star e=a$.

• Per últim, cada element deu tindre un element simètric: açò vol dir que si yo prenc un element qualsevol $a$ del conjunt, llavors puc trobar un atre element $\hat{a}$ del conjunt de tal manera que en operar abdós, el resultat que obtinc és l'element neutre: $a\star \hat{a}=\hat{a}\star a=e$.

El concepte de grup no és invenció de Klein, pero és ell el que descobrix un fet fonamental que ho relaciona en les distintes geometria: cada geometria és l'estudi de certes propietats que no canvien quan se li apliquen un tipo de transformacions. Eixes propietats, per no canviar, les denomina invariantes, i les transformacions que no fan canviar a un invariante han de tindre estructura de grup baix l'operació de composició (compondre dos transformacions és fer una d'elles i aplicar-li l'atra transformació al resultat de la primera).

Aixina Klein descobrix que, per eixemple, la geometria euclidiana és l'estudi dels invariantes per mig del grup dels moviments rígits (com les simetria, girs i translacions), que la geometria afí és l'estudi dels invariantes per mig del grup de les translacions, que la geometria proyectiva és l'estudi dels invariantes per mig del grup de les proyectividades, i inclús que la Topología és l'estudi dels invariantes per mig del grup de les funcions contínues i d'inversa contínua, entre unes atres.

De fet, Klein afirma que la comprensió de "tindre una geometria, llavors hi ha un grup principal" és més be al revés. Un a priori diu qué tipo de transformacions admetrà (és dir, establix el grup) i tot lo demés es pot reconstruir a partir d'ell. Es demostra inclús, que si un dona un subgrup de les biyecciones d'un conjunt en sí mateix isomorfo a algun grup clàssic (simetria, translacions, proyectividades) llavors totes les teoremes d'eixa geometria són vàlits en est.

El descobriment de Klein és fonamental, ya que per un costat nos permet classificar les geometria, comprenent quin és una "subgeometría" d'cual, per un atre costat nos permet comprendre qué és l'estudi general de la Geometria (com a disciplina matemàtica) i per últim, pero no menys important, és la confirmació de que els métodos sintètic i algebraic no donen geometria distintes, sino que realment estudien la mateixa geometria en cada cas. Es posa fi aixina a la distinció entre el método sintètic i l'algebraic-analític. En la seua época va supondre la consagració de la Geometria Proyectiva com la Reina de les Geometria.

Note's que és la primera volta que una ciència (la Geometria) és capaç de autodefinirse rigorosament i, per tant, constituïx un dels punts culminants de l'esperit humà en l'història.