Invariante

Archiu:Wallpaper group-p2-3.jpg

Un fondo de pantalla és invariable davant certes transformacions. Est és invariable davant la translació horisontal i vertical, aixina com davant una rotació de 180° (pero no davant la reflexió).

Invariante és alguna cosa que no canvia en aplicar-li un conjunt de transformacions.
Aixina, en matemàtiques, un objecte (funció, conjunt, punt, ...) es diu invariante respecte d'o baixe una transformació si permaneix inalterado despuix de l'acció de tal trasformación. El concepte de invariante és similar al de punt fix.
Més formalment una entitat es considera invariante baix un conjunt de transformacions si l'image transformada de l'entitat és indistinguible de l'original. La propietat de ser invariante es coneix com invarianza o invariancia.

• Un eixemple fàcil de invarianza és la distància entre dos punts en una recta, esta no canvia al sumar una mateixa cantitat a abdós punts; és dir és invariante baix la suma, pero si els multipliquem per una mateixa cantitat (llevat l'1) canvia la distància; llavors no és invariante en la multiplicació.
• La simetria també pot ser considerada una forma de invarianza.
• Un atre eixemple interessant són els invariantes algebraics que apareixen en àlgebra llineal, càlcul tensorial i topología.

Invariancia en física

Una noció física fonamental és la d'observador. En totes les teories físiques es presupon l'existència d'algun tipo de realitat objectiva i un número potencialment infinit d'observadors diferents capaços d'observar i medir dita realitat. Totes les teories físiques inclouen l'axioma o principi d'objectivitat segons el qual encara que diferents observadors poden aplegar a mides diferents de la mateixa realitat objectiva, totes elles són relacionables per mig de regles generals, és dir, l'objectivitat del món material es reflectix en la intersubjetividad de les mides físiques.

Pot demostrar-se que l'existència de intersubjetividad de les mides conduïx a que poden formar-se certes expressions matemàtiques que relacionen les mides que són invariantes en forma o forminvariantes per a tots els observadors.

Invariancia en matemàtiques

En matemàtiques existixen vàries nocions relacionades d'invariancia. Una de les més útils considera un functor $\Psi$ entre categories:

un invariante és un objecte de la categoria image ${𝒞}_2$ tal que les imàgens pel functor dels objectes de la primera categoria (que poden ser relacionats per un isomorfisme) són idèntiques. Donats qualssevol dos objectes de la primera categoria $C_A,C_B\in {𝒞}_1$ es complix que:

En atres paraules un "invariante" és una functor constant sobre una determinada categoria. El grup fonamental és un invariante matemàtic, ya que dos espais homeomorfos compartixen el mateix grup fonamental. Ademés del grup fonamental existixen uns atres invariantes algebraics definibles sobre una categoria d'espais topològics homeomorfos.

En atres contexts la definició anterior pot simplificar-se, per eixemple en molts contexts es considera un conjunt de transformacions $𝒯$ sobre objectes, un invariante pot entendre's com un objecte matemàtic que no és alterat per les transformacions:

En teoria de matrius un invariante algebraic és una funció polinòmica de les components de la matriu el valor de la qual no varia es calcula sobre matrius semblants (i per tant que representen la mateixa aplicació llineal, per lo que els invariantes algebraics es denominen invariantes algebraics de l'aplicació llineal).