Matriu semblant

En àlgebra llineal, es diu que dos matrius $A$ i $B$ d'orde $n \times n$ sobre el cos $K$ són semblants si existix una matriu invertible $P$ de $n \times n$ sobre $K$ tal que:

P^{- 1} A P = B

Si $T$ és una transformació de $M_{n \times n}$ en $M_{n \times n}$ tal que $T (A) = P^{- 1} A P$ , sent $P$ una matriu fixa, llavors $T$ rep el nom de transformació llineal de semblança.

En teoria de grups, la semblança es diu classe de conjugació.

Propietats

Les matrius semblants compartixen vàries propietats:

posseïxen el mateix ranc,
el mateix determinant,
la mateixa traça,
els mateixos valors propis (encara que els vectores propis, en general, seran distints),
el mateix polinomi característic, i
el mateix polinomi mínim.

Hi ha dos raons per a estes característiques:

dos matrius semblants poden pensar-se com dos descripcions d'una mateixa transformació llineal, pero sobre bases distintes;
la transformació X $\mapsto$ P⁻¹XP és un automorfisme del àlgebra associativa de totes les matrius de n-per-n.

Per açò, per a una matriu A donada, estem interessats en trobar una "forma normal" senzilla B que siga semblant a A: l'estudi de A es reduïx d'esta manera a l'estudi de la matriu semblant (i més senzilla) B. Per eixemple, A es diu diagonalisable si és semblant a una matriu diagonal. No totes les matrius són diagonalisables, pero per lo manco sobre els número complejo (o qualsevol cos algebraicamente tancat), tota matriu és semblant a una matriu en forma de Jordan. Una atra forma normal, la forma canònica racional, s'aplica en qualsevol camp. Observant les formes de Jordan o les formes canòniques racionals de A i B, pot decidir-se immediatament si A i B són semblants.

La semblança de matrius no depén del cos base: si L és un cos contenint a K com subcuerpo, i A i B són dos matrius en K, llavors A i B són semblants com a matrius sobre K si i solament si són semblants com a matrius sobre L. Açò és prou útil: un pot engrandir en forma segura el cos K, per eixemple per a obtindre un cos algebraicamente tancat; les formes de Jordan poden computar-se sobre el cos gran i pot usar-se per a determinar si les matrius donades són semblants sobre el cos menut. Este método pot usar-se, per eixemple, per a mostrar que tota matriu és semblant a la seua trasponer.

Si en la definició de semblança, la matriu P pot elegir-se per a que siga una matriu de permutació, llavors A i B són semblants en permutació; si P pot elegir-se per a que siga una matriu unitària, llavors A i B són unitariamente equivalents. El teorema espectral establix que tota matriu normal és unitariamente equivalent a alguna matriu diagonal.

Matrius congruents

Atra relació d'equivalència important per a matrius reals és la congruència.

Dos matrius reals A i B es diuen congruents si hi ha una matriu regular real P tal que:

P^TAP = B.

Canvis de base

Recordem que un endomorfisme és una aplicació llineal entre un mateix espai vectorial $f : V (K) ⟶ V (K)$ , és dir, tal que:

Entre l'espai vectorial dels endomorfismes $E n d (V)$ i l'anell de les matrius quadrades existix un isomorfisme que, fixada una base en $V (K)$ , assigna una única matriu a cada endomorfisme (per supost si es canvia de base, la matriu també canviarà).

Suponga's que es tenen dos bases de $V (K)$ cridades ${\hat{B}}_{V} = {{\hat{v}}_{k}}, B_{V} = {v_{i}}$ de modo que

En lo que seguix usarem el conveni de sumación d'Einstein per a fer més llaugera la notació. Sean ara $a_{i j}$ i ${\hat{a}}_{k l}$ les matrius associades a l'endomorfisme en les respectives bases de modo que $f (v_{i}) = a_{i j} v_{j}$ i $f ({\hat{v}}_{k}) = {\hat{a}}_{k l} {\hat{v}}_{l}$ , llavors les matrius es relacionen per:

f (v_{i}) = a_{i j} v_{j} ⟶

f (Λ_{i k} {\hat{v}}_{k}) = a_{i j} Λ_{i l} {\hat{v}}_{l} ⟶

Λ_{i k} f ({\hat{v}}_{k}) = a_{i j} Λ_{i l} {\hat{v}}_{l} ⟶

Λ_{i k} {\hat{a}}_{k l} {\hat{v}}_{l} = a_{i j} Λ_{i l} {\hat{v}}_{l} ⟶

Λ_{i k} {\hat{a}}_{k l} = a_{i j} Λ_{i l} ⟶

{\hat{a}}_{k l} = Λ_{k i}^{- 1} a_{i j} Λ_{i l}

és dir hi ha una relació de similitut entre elles.

Vore també

Matriu congruent

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz semejante» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.