Polinomi mínim

En matemàtiques, el polinomi mínim d'un element α és el polinomi mónico p de menor grau tal que p(α)=0. Les propietats del polinomi no depenen de l'estructura algebraica a la qual pertany α.

Teoria de cossos

Artícul principal → Polinomi mínim (teoria de cossos).

En teoria de cossos, donada una extensió de cos I/F i un element α de I que siga algebraic sobre F, el polinomi mínim de α és el polinomi mónico p, en coeficients en F, de menor grau tal que p(α) = 0. El polinomi mínim és irreducible, i qualsevol atre polinomi no nul f que complixca f(α) = 0 és un múltiple de p.

Àlgebra llineal

Artícul principal → Polinomi mínim d'un endomorfisme.

En àlgebra llineal, el polinomi mínim d'un endomorfisme $f$ d'un espai vectorial $E$ de dimensió finita sobre un cos $𝕂$ és l'únic polinomi mónico ${\mu }_f(t)\in 𝕂[t]$ de grau mínim que anula a $f$, és dir, tal que ${\mu }_f(f)=0$. Per extensió, donada una matriu $A\in {ℳ}_n(𝕂)$, definim el polinomi mínim de $A$ com el polinomi mínim de l'endomorfisme que definix la matriu $A$ en un espai vectorial $E$ de dimensió $n$ (en qualsevol base, puix el polinomi mínim no depén de l'elecció d'esta).

Qualsevol atre polinomi $p\in 𝕂[t]$ en $p(f)=0$ és un múltiple de ${\mu }_f$. Vejam la demostració d'açò últim, juntament en que el polinomi mínim és únic:

Els següents tres enunciats són equivalents:

1. $\lambda \in 𝕂$ és una raïl de $m_f(t)$,
2. $\lambda$ és una raïl del polinomi característic de $A$,
3. $\lambda$ és un valor propi de $A$.

La multiplicitat de la raïl $\lambda$ de $p(t)$ és el tamany del major bloc de Jordan corresponent a $\lambda$.

El polinomi mínim no és sempre el mateix que el polinomi característic. Considerem la matriu $4I_n$, que té com a polinomi característic $(x-4{)}^n$. No obstant, el polinomi mínim és $x-4$, ya que $4I-4I=0$, per lo que són distints per a $n\ge 2$. El fet que el polinomi mínim sempre dividixca el polinomi característic és conseqüència del teorema de Cayley–Hamilton.