Teorema de Chasles (cinemàtica)

Archiu:Pure screw.svg

Un eix helicoidal. La teorema de Mozzi–Chasles afirma que cada moviment euclídeo descriu una trayectòria helicoidal en un eix rectilíneo

En cinemàtica, la Teorema de Chasles (també cridat de Mozzi-Chasles), afirma que el desplaçament general d'un cos rígit en l'espai pot ser assimilat a una translació respecte a una recta (denominada eix helicoidal o eix de Mozzi) seguit (o precedit) per un moviment de rotació sobre un eix paralel a esta llínea.

Història

La prova de que un desplaçament espacial es pot descompondre en una rotació i una esmonyida respecte a una llínea recta s'atribuïx a l'astrònom i matemàtic Giulio Mozzi (1763). De fet, l'eix de l'helicoide es denomina tradicionalment "asse vaig donar Mozzi" en Itàlia. No obstant, la majoria dels llibres de text es referixen a un treball similar posterior de Michel Chasles, que data de 1830. Atres matemàtics contemporàneus de Chasles varen obtindre els mateixos resultats o similars en eixa época, inclosos G. Giorgini, Cauchy, Poinsot, Poisson i Rodrigues. Una descripció de la prova de 1763 realisada per Giulio Mozzi i part del seu historial es pot trobar ací.

Prova

Mozzi considera que un cos rígit experimenta primer una rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de massa i després una translació del desplaçament D en una direcció arbitrària. Qualsevol moviment rígit es pot conseguir d'esta manera per una teorema de Euler sobre l'existència d'un eix de rotació. El desplaçament D del centre de massa es pot descompondre en components paralels i perpendicular a l'eix. El component perpendicular (i paralel) actua en tots els punts del cos rígit, pero Mozzi mostra que en alguns punts la rotació anterior actua exactament en un desplaçament opost, per lo que eixos punts es traslladen en paralel a l'eix de rotació. Estos punts es troben en l'eix de Mozzi, a través del que el moviment del sòlit rígit es pot representar per mig d'un moviment helicoidal.

Una atra prova elemental de la teorema de Mozzi-Chasles va ser donada per Edmund Whittaker en 1904. Suponga's que A es va a transformar en B. Whittaker sugerix que la llínea recta AK se seleccione paralela a l'eix de la rotació donada, en K sent el peu d'un perpendicular des de B. El desplaçament propi de l'helicoide es realisa al voltant d'un eix paralel a AK tal que K es desplaça a B. El método correspon en una isometría afí, en la que la composició d'una rotació i d'una translació es pot reemplaçar per la rotació al voltant d'un centre adequat. Segons Whittaker, "Una rotació sobre qualsevol eix és equivalent a una rotació a través del mateix àngul al voltant de qualsevol eix paralel a ell, junt en una translació simple en una direcció perpendicular al propi eix".