Moviment de rotació

Per a atres usos d'este terme vore Rotació de cultius.

Per a el moviment que fa la Terra en girar vore Rotació de la Terra.

Per a el canvi de coordenades que implica un gir vore Rotació (matemàtiques).

Rotació és el moviment de canvi d'orientació d'un cos o un sistema de referència de manera que una llínea (cridada eix de rotació) o un punt permaneix fix.

La rotació d'un cos es representa per mig d'un operador que afecta a un conjunt de punts o vectores. El moviment rotatori es representa per mig del vector velocitat angular $𝝎$ , que és un vector de caràcter deslizante i situat sobre l'eix de rotació. Quan l'eix passa pel centre de massa o de gravetat es diu que el cos «gira sobre sí mateixa».

En ingenieria mecànica, es diu revolució a una rotació completa d'una peça sobre el seu eix (com en l'unitat de revolucions per minut), mentres que en astronomia s'usa esta mateixa paraula per a referir-se al moviment orbital de translació d'un cos al voltant d'un atre (com els planetes al voltant del Sol).

Rotació en física

Concepte de rotació i revolució

Erro al crear miniatura:

Animació de dos objectes orbitando al voltant d'un centre de masses comuna, eixemple de revolució.

Archiu:Rotating Sphere.gif

Eixemple de rotació.

Archiu:Mond Grafik.svg

Eixemple de revolució.

Archiu:Moglfm0506 movimiento traslacion.jpg

El moviment de l'estructura d'una noría correspon a un moviment de rotació. Pel contrari, les barquillas de la nòria realisen un moviment de translació o revolució en trayectòria circular.

En astronomia és habitual distinguir entre el moviment de rotació i el de revolució en els següents sentits:

La rotació d'un cos al voltant d'un eix (exterior o interior al cos) correspon a un moviment en el que els distints punts del cos presenten velocitats que són proporcionals a la seua distància a l'eix. Els punts del cos situats sobre l'eix (en el cas de que este siga interior al cos) permaneixen en repòs.
- L'orientació del cos en l'espai canvia contínuament durant la translació.
- Un eixemple de rotació és el de la Terra al voltant del seu propi eix de rotació, en un periodo de rotació d'un dia sidéreo.
La revolució d'una partícula o d'un cos extens correspon a un moviment de translació del cos al voltant d'un atre.

- Un eixemple de revolució és el de la Terra al voltant del Sol, en un periodo de revolució d'un any.

La distinció entre rotació i revolució està associada en l'existent entre rotació i translació d'un cos extens. Si la velocitat de translació és constant (v=cte), cada u dels punts del sòlit recorrerà una trayectòria rectilínea en celeritat constant i totes eixes trayectòries seran paraleles entre sí (moviment de translació uniforme). Pero, en general, la velocitat de translació no té per qué ser constant i la trayectòria pot ser curvilínea.

Les trayectòries recorregudes pels distints punts del cos poden ser circumferències, totes elles del mateix radi (congruents), encara que de distint centre. Esta situació es presenta en una nòria de fira d'eix horisontal, com es mostra en la figura: l'armadura de la nòria gira entorn a l'eix (rotació), pero les barquillas suspeses de dita armadura, prescindint de chicotetes oscilacions pendulares, experimenten una translació en trayectòries circulares.

Moviment rotatiu

Artícul principal → Moviment rotatiu.

Rotació infinitesimal

En una rotació en un àngul infinitesimal δθ, es pot prendre cos δθ ≈ 1 i sen δθ ≈ δθ, de modo que l'expressió de la rotació plana pansa a ser:

Si es componen dos rotacions infinitesimals i, per això, es descarten els térmens d'orde superior al primer, es comprova que posseïxen la propietat conmutativa, que no tenen les rotacions tridimensionals finitas.

Matemàticament el conjunt de les rotacions infinitesimals en l'espai euclideo formen l'àlgebra de Lie $𝔰 𝔬 (3)$ , associada al grup de Lie SO(3)

Velocitat angular

Artícul principal → Cinemàtica del sòlit rígit.

Dau un sòlit rígit que trencada al voltant d'un eix, la velocitat llineal v d'una partícula es pot expressar a partir de la velocitat angular ω:

Mentres que l'acceleració a és:

Si el sòlit rígit ademés de rotar al voltant d'un eix té un moviment adicional de translació en velocitat instantànea V llavors les fòrmules anteriors deuen substituirse per:

Dinàmica de rotació

La velocitat angular de rotació està relacionada en el moment angular. Per a produir una variació en el moment angular és necessari actuar sobre el sistema en forces que eixercixquen un moment de força. La relació entre el moment de les forces que actuen sobre el sòlit i l'acceleració angular es coneix com moment d'inèrcia (I) i representa l'inèrcia o resistència del sòlit a alterar el seu moviment de rotació.

l'energia cinètica de rotació s'escriu:

sent $𝐈$ el tensor moment d'inèrcia. L'expressió del teorema del treball en moviments de rotació es pot expressar aixina:

de modo que, la variació de l'energia cinètica del sòlit rígit és igual al producte escalar del moment de les forces pel vector representatiu de l'àngul girat ( $Δ θ$ ).

Eix de rotació

Si be es definix la rotació com un moviment de rotació al voltant d'un eix, deu tindre's presente que dit eix de rotació pot anar canviant el seu inclinament a lo llarc del temps. Aixina succeïx en l'eix de rotació terrestre i en general en l'eix de rotació de qualsevol sòlit en rotació que no present simetria esfèrica. Per a un planeta, o en general qualsevol sòlit en rotació, sobre el que no actua un parell de força el moment angular es manté constant, encara que això no implica que el seu eix de rotació siga fix. Per a una peonza simètrica, és dir, un sòlit tal que dos dels seus moments d'inèrcia principals siguen iguals i el tercer diferent, l'eix de rotació gira al voltant de la direcció del moment angular. Els planetes en molt bona aproximació són esferoides achatados en els pols, la qual cosa els convertix en una peonza simètrica, per eixa raó el seu eix de gir experimenta una rotació coneguda com precesión. La velocitat angular de precesión ve donada pel cocient entre el moment angular de rotació i el menor dels moments d'inèrcia del planeta:

El cas d'existència d'asimetria axial el planeta és una peonza asimètrica i ademés l'eix de gir pot realisar un moviment de nutación.

Rotació en matemàtiques

Introducció matemàtica

El tractament detallat de les rotacions ha segut objecte de numerosos treballs matemàtics, que aborden el problema des de diversos punts de vista i graus de sofisticació: cuaterniones, matrius, operadorés vectorials, teoria de grups... Tots estos enfocaments són matemàticament equivalents i es poden derivar uns d'uns atres, llevat en alguns aspectes concrets i possibles resultats redundantes, i l'elecció d'un o un atre depén del problema concret. En l'arribada de la robòtica i els gràfics informàtics, la matemàtica de les rotacions ha cobrat un nou impuls i ha passat a ser una matèria d'estudi molt actiu, en particular émfasis en l'enfocament basat en cuaterniones.

En matemàtiques les rotacions són transformacions llineals que conserven les normas (és dir, són isomètriques) en espais vectorials en els que s'ha definit una operació de producte intern i que la seua matriu té la propietat de ser ortogonal i de determinant igual a ±1. Si el determinant és +1 es diu rotació pròpia i si és −1, ademés d'una rotació pròpia hi ha una inversió o reflexió i es parla de rotació impròpia.^[1]

La conservació de la norma és equivalent a la conservació del producte intern, que es pot expressar com:

Conseqüència d'ella és que les distàncies i les formes també es conserven.

Com a paràmetro que determina la rotació es pot usar un vector (que té caràcter deslizante) de l'eix de rotació i de llongitut proporcional al àngul de rotació. No obstant, lo normal és separar este vector en l'àngul i un vector unitari, lo que en l'espai dona quatre paràmetros.^[2] Com a conseqüència hi ha dos formes de representar una única rotació, puix

Rotacions en el pla

Archiu:Mog rotacion vector.jpg

Canvi de base o rotació d'un vector.

Siga un vector A en el pla cartesiano definit pels seus components x i i, descrit vectorialmente a través dels seus components:

L'operació de rotació del punt senyalat per este vector al voltant d'un eix de gir pot sempre escriure's com l'acció d'un operador llineal (representat per una matriu) actuant sobre el vector (multiplicant al vector:

Expressió matricial

En dos dimensions la matriu de rotació per al vector donat pot escriure's de la manera següent:

En fer l'aplicació de l'operador, és dir, en multiplicar la matriu pel vector, obtindrem un nou vector A' que ha segut rotado en un àngul $θ$ en sentit antihorario:

sent

A'_{x} = A_{x} \cos θ - A_{y} sen θ

A'_{y} = A_{x} sen θ + A_{y} \cos θ

les components del nou vector despuix de la rotació.

Expressió per mig d'número complejo

Les rotacions en el pla poden tractar-se igualment per mig de número complejo, ya que i^iα és una rotació d'àngul a:

El grup de rotacions en dos dimensions és isomorfo al grup de Lie, ortogonal especial SO(2) que a la seua volta és isomorfo al grup unitari O(1).

Teorema de rotació de Euler

En matemàtiques, el teorema de rotació de Euler diu que qualsevol rotació o conjunt de rotacions successives pot expressar-se sempre com una rotació al voltant d'una única direcció o eix de rotació principal. D'esta manera, tota rotació (o conjunt de rotacions successives) en l'espai tridimensional pot ser especificada a través de l'eix de rotació equivalent definit vectorialmente per tres paràmetros i un quart paràmetro representatiu de l'àngul rotado. Generalment es denominen a estos quatre paràmetros graus de llibertat de rotació.

Rotacions en l'espai

Archiu:Euler2.gif

Les tres rotacions planes dels ànguls de Euler. En la primera l'eix és z, que apunta cap a dalt i gira els eixos x i i; en la segona l'eix és x, que apunta cap al front i que inclina l'eix z, i en l'última de nou l'eix és z.

Les rotacions tridimensionals revisten especial interés pràctic per correspondre's en la geometria de l'espai físic en que vivim (naturalment sempre que es consideren regions d'escala mijana, ya que per a distàncies grans la geometria no és estrictament euclídea). En tres dimensions convé distinguir entre les rotacions planes o rectangulars, que són aquelles en les que el vector rotado i el que determina l'eix de gir formen un àngul recte, i les còniques, en les que l'àngul entre estos vectores no és recte. Les rotacions planes són de tractament matemàtic més simple, puix es poden reduir al cas bidimensional descrit més dalt, mentres que les còniques són molt més complexes i per lo general es tracten com una combinació de rotacions planes (especialment els ànguls de Euler i els paràmetros de Euler-Rodrigues).

Expressió vectorial

L'expressió vectorial de les rotacions còniques és:

a on:

𝐫, 𝐫^{'}

representen els vectores posició d'un punt abans i despuix de l'operació de rotació.

𝐮

és un vector unitari que coincidix en la direcció d'eix de gir.

θ \in [0, 2 π)

és el valor de l'àngul girat.

\cdot, \times

, denoten respectivament el producte escalar i el producte vectorial.

Expressions matriciales

Matricialmente este producte es pot escriure de vàries maneres, be com a matriu ortogonal:

A on:

𝐫 = (x, y, z), 𝐫^{'} = (x^{'}, y^{'}, z^{'})

𝐮 = (u_{x}, u_{y}, u_{z})

C = \cos (θ / 2), S = sen (θ / 2)

Pot comprovar-se en una miqueta d'àlgebra rutinària que la matriu anterior té com autovalorés:

La direcció principal (recta generada per un vector propi) asociaciada al autovalor 1 és precisament el vector $𝐮$ que dona la direcció d'eix de gir.

Expressions vectorials

Es pot descriure el moviment de rotació cònica en operadors vectorials que, al contrari que les expressions matriciales, són independents de les coordenades. Aixina,^[3]

a on l'expressió entre paréntesis funciona com a operador i $\tilde{𝐮} = 𝐈 \times 𝐮$ , de modo que $\tilde{𝐮} \cdot 𝐫 = 𝐮 \times 𝐫$ .^[4] Hi ha certs casos especials d'este operador:

$\tilde{𝐮}$ és una rotació plana de (1/2)π rad. L'aplicació successiva d'este operador dona ${\tilde{𝐮}}^{2} = - 1$ , ${\tilde{𝐮}}^{3} = - \tilde{𝐮}$ , ${\tilde{𝐮}}^{4} = 1$ , ${\tilde{𝐮}}^{5} = \tilde{𝐮}$ , etc., en un comportament semblat a l'unitat imaginària (i).^[5] És un operador hemisimétrico i en coordenades castesianas la seua matriu és:

$\cos θ + sen θ \tilde{𝐮}$ és una rotació plana d'àngul θ. Una notació alternativa és $e^{\tilde{𝐮} θ}$ (per similitut en els número complejo). La forma matricial d'este operador en els eixos cartesianos principals és particularment senzilla; per eixemple, per a i és:

$2 𝐮 𝐮 - 1$ és una rotació cònica binaria (de π rad). Una rotació cònica arbitrària d'àngul θ es pot representar en dos rotacions binarias, perpendicular a $𝐮$ i que formen un àngul (1/2)θ;^[6] la manipulació d'este parell de rotacions binarias (o, de modo equivalent, de dos reflexions) es pot prendre com la base per a la descripció per mig dels paràmetros de Euler-Rodrigues. Aixina, el segon d'estos eixos s'obté per mig d'una rotació plana del primer en $\cos \frac{1}{2} θ + s e n \frac{1}{2} θ \tilde{𝐮}$ , que dona els quatre paràmetros:

Ànguls de Euler

Artícul principal → Ànguls de Euler.

Per mig dels ànguls de Euler es pot representar una rotació qualsevol en una successió de tres rotacions planes al voltant de tres eixos ortogonals. No hi ha acort sobre els tres eixos concrets i en la lliteratura científica apareixen diversos convenis; hi ha, en concret, 12 possibilitats, pero lo més habitual és que es prenguen zyz i zxz. A estos 12 convenis cal afegir possibles variacions en el signe, orientació relativa d'eixos (horari o antihorario) i punt de vista (operació en vectores o transformació de coordenades).^[7]

Els ànguls de Euler varen ser el sistema més popular en els sigles XIX i XX per a representar les rotacions, puix permeten modelizar fàcilment varis sistemes mecànics, com les trompes, els giroscopis, els barcos i els avions. En el cas de la trompa, els eixos es corresponen en la precesión, la nutación i la rotació. En els avions es prenen com a eixos xyz, de modo que es corresponguen en el alabeo (o balancege en barcos), el cabotege i la guiñada; este conveni específic d'eixos es diu també ànguls de navegació o de Tait-Bryan.

Els ànguls de Euler presenten una singularitat quan l'àngul del segon gir és 0 o π, puix en tal case el primer àngul i el segon passen a quedar indefinits, i solament està definida la seua suma, si l'àngul és 0. En això es pert un grau de llibertat, lo que en els dispositius mecànics que combinen varis eixos, com els giroscopis, pot conduir a un bloqueig del sistema, conegut com bloqueig de cardán (en anglés, gimbal lock). Matemàticament, és possible evitar estes singularitats en sistemes de quatre paràmetros, com els paràmetros de Euler-Rodrigues (o cuaterniones).

Paràmetros de Euler-Rodrigues i cuaterniones

Els cuaterniones proporcionen un método per a representar rotacions que no presenten singularitats a costa de ser redundantes. Poden introduir-se axiomáticamente o derivar-se a partir de rotacions vectorials, en especial per mig de la construcció de Euler-Rodrigues.^[8]

Històricament, els quatre paràmetros que formen els cuaterniones varen ser introduïts de modo independent i en diferents tractaments matemàtics i geomètrics per Gauss, Rodrigues i Hamilton, entre uns atres, encara que aparentment Euler, a pesar del nom, els desconeixia. Rodrigues va aplegar a ells per mig de trigonometria esfèrica com una combinació de reflexions; Hamilton, poc despuix, ho va formular de modo axiomàtic com una extensió dels número complejo. En mecànica quàntica també es va aplegar a ells en les matrius de Pauli.

En tres dimensions existix una construcció similar a la dels número complejo de mòdul unitat per a representar les rotacions en el pla. La construcció clau residix en identificar els vectores tridimensionals en números cuaterniónicos en part real nula, i usar les tres components com a coeficients de la part no real. La rotació es pot representar com un producte conjugat per un cuaternión unitari obtingut per exponenciación d'un cuaternión igual al producte de l'àngul girat pel cuaternión que representa a l'eix de gir.

Donat un vector tridimensional $𝐯$ rerepsentable com un número cuaterniónico en part real nula, i una rotació tridimensional donada per un gir $α$ entorn a l'eix $𝐧$ es pot representar el vector girat resultant com:

Este enfocament està relacionat en l'àlgebra geomètrica i els vectores i, j i k seguixen les regles algebraiques dels cuaterniones (i² = −1, etc.). El producte de dos rotacions ve dau, en térmens de vectores ordinaris, per:^[9]

a on [a, b] representa un cuaternión en part real a i part no real b.

Teoria de grups

Archiu:Benzene-aromatic-3D-balls.png

Una rotació d'un sext de regrés complet (2π/6) al voltant d'un eix que travessa la pantalla deixa igual la molècula de benceno, per lo que hi ha una simetria rotacional (entre atres).

En teoria de grups, la rotació és una de les possibles transformacions que es poden aplicar a un sistema o una figura geomètrica, que permeten determinar la simetria de rets cristalográficas, orbitales atòmics i molècules, i per tant partix de les seues propietats físic-químiques. Atres tranformaciones són la translació, la reflexió i l'inversió.

Rotacions front a translacions

En mecànica es demostra que el moviment del sòlit rígit es pot descompondre en una rotació i una translació. Abdós trasformaciones són isomètriques, com correspon al fet de que el sòlit és rígit, pero en la rotació, al contrari que en la translació, hi ha a lo manco un punt fix. El conjunt d'estes transformacions forma un grup cridat grup euclidiano que és el grup d'isometría de l'espai euclidiano tridimensional. Cada element g d'este grup euclidiano es pot representar de manera única com:^[10]

a on R és una matriu de 3x3 que representa una rotació i d les components del vector de tres components que representa el desplaçament. Per tant esta manera de representar el grup és una representació llineal sobre un espai vectorial de dimensió quatre.

Rotacions front a reflexions i inversions

Estes tres transformacions es diuen tranformaciones puntales puix deixen un punt fix, i estan estretament relacionades. Aixina, dos reflexions segons dos plans equivalen a una rotació.

La composició de dos rotacions tridimensionals és una atra rotació, per lo que estes formen un grup, cridat O(3) i que inclou les reflexions. Les rotacions pròpies són un subgrup, cridat SO(3), pero no les rotacions impròpies, puix dos d'elles equivalen a una rotació pròpia.

Percepció de les rotacions

Archiu:ArtMechanic Rotation.gif

Resultat.

Archiu:ArtMechanic.jpg

Image original de la composició.

L'image mostra un artificio per a crear l'ilusió d'una rotació en 3D a partir d'una image en 2D. Està formada per parts restringides una darrere d'una atra, de modo que el nostre cervell interpreta com una rotació d'acort a les senyes que sobre l'objecte (el cap) reté la nostra memòria.

Vore també

Referències

↑ Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 52
↑ Altmann, p 65
↑ Donald H. Menzel, Mathematical Physics, New York, Dover, 1961, p. 90 (la notació és alguna cosa distinta)
↑ Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer, 2010, p. 289 (la notació és alguna cosa distinta).
↑ J. Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson, Vector Analysis, New Haven, Yale Univ. Press, 1947, p. 299
↑ Gibbs, Wilson, p. 343-344
↑ Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Mathematical handbook for scientists and engineers, New York, Dover, 2000, p. 476-478
↑ Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 155-159
↑ Altamann, p. 203
↑ Marsden, Ràtio, p.649

Bibliografia

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Rotation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Movimiento de rotación» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 52

[2] Altmann, p 65

[3] Donald H. Menzel, Mathematical Physics, New York, Dover, 1961, p. 90 (la notació és alguna cosa distinta)

[4] Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer, 2010, p. 289 (la notació és alguna cosa distinta).

[5] J. Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson, Vector Analysis, New Haven, Yale Univ. Press, 1947, p. 299

[6] Gibbs, Wilson, p. 343-344

[7] Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Mathematical handbook for scientists and engineers, New York, Dover, 2000, p. 476-478

[8] Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 155-159

[9] Altamann, p. 203

[10] Marsden, Ràtio, p.649

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]