Direcció principal

En física i ingenieria, una direcció principal es referix a una recta de punts formada per vectores propis d'alguna magnitut física de tipo tensorial. Els dos eixemples més notoris són les direccions principals d'inèrcia, usualment cridades eixos principals d'inèrcia i les direccions principals de tensió i deformació d'un sòlit deformable.

Este artícul resumix les propietats matemàtiques de les direccions principals i el significat físic de les mateixes en els diferents contexts.

Definició matemàtica

Donada una magnitut física de tipo tensorial T es planteja el problema matemàtic de buscar els vectores no nuls v que complixquen l'equació:

Dit problema constituïx un problema matemàtic de vectores propis, a on els autovalores (o valors principals) són valors del paràmetro λ per als que existix solució i cada una de les rectes generades per un vector v es diuen direcció principal. El significat físic tant dels valors i direccions principals varia segons la magnitut tensorial considerada. En els següents apartats s'explica el significat i importància de valors i direccions principals per a algunes magnituts tensoriales importants.

Eixos principals d'inèrcia

Com és sabut en mecànica del sòlit rígit, l'inèrcia rotacional d'un cos ve caracterisada per un tensor cridat tensor d'inèrcia, que en una base ortogonal s'expressa per mig d'una matriu simètrica.

Els eixos principals d'inèrcia són precisament les rectes o eixos formades per vectores propis del tensor d'inèrcia. Tenen la propietat interessant de que un sòlit que gira lliurement al voltant d'un d'estos eixos no varia el seu orientació en l'espai. En canvi, si el cos gira al voltant d'un eix arbitrari que no siga principal, el moviment d'acort en les equacions de Euler presentarà canvis d'orientació en forma de precesión i nutación.

El fet de que el gir al voltant d'un eix principal siga tan simple es deu a que, quan un sòlit gira al voltant d'un dels seus eixos principals, el moment angular L i la velocitat angular ω són vectores paralels per estar abdós alineats en una direcció principal:

A on λ és una magnitut escalar que coincidix en el moment d'inèrcia corresponent a dit eix. En general, un cos rígit té tres moments principals d'inèrcia diferents. Pot provar-se ademés que si dos eixos principals es corresponen a moments principals d'inèrcia diferents, dits eixos són perpendiculars.

Tot cos sòlit té a lo manco un sistema de tres eixos d'inèrcia principals (el tensor d'inèrcia sempre es pot diagonalizar) encara que, en particular, el número sistemes d'eixos d'inèrcia principals pot aplegar a ser infinit si el sòlit rígit presenta simetria axial o esfèrica. En el cas de la simetria axial dos dels moments d'inèrcia relatius a sengles eixos tindran el mateix valor i, en el cas de la simetria esfèrica, tots seran iguals. Els sòlits rígits que tenen simetria esfèrica es denominen peonzas esfèriques i, els que solament tenen simetria axial, peonzas simètriques.

Referències

• Landau & Lifschitz: Mecànica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991 (pp. 119-120) ISBN 84-291-4081-6.