Precesión

Archiu:Gyroscope precession.gif

Precesión

Moviment de precesión d'una trompa o peonza.

Moviment de precesión d'una trompa o peonza.

La precesión o moviment de precesión és el moviment associat en el canvi de direcció en l'espai que experimenta l'eix instantàneu de rotació d'un cos.

Un eixemple de precesión ho tenim en el moviment que realisa una peonza o trompa en rotació. Quan el seu eix de rotació no és vertical, la peonza posseïx un moviment de «cabotege» similar al de precesión.

Més exactament una precesión pura és aquell moviment de l'eix de rotació que manté el seu segon àngul de Euler (nutación) constant. Este moviment de nutación també es dona en l'eix de la Terra.

Hi ha dos tipos de precesión: la precesión deguda als moments externs, i la precesión sense moments de forces externs.

Precesión sense moments externs

Este moviment ocorre quan un cos està en moviment al voltant d'un eix que no és ni el de màxim moment d'inèrcia ni el de menor moment d'inèrcia. La precesión pot estar acompanyada d'atres moviments propis dels cossos en rotació com la nutación. Hi ha un tipo especial de curves sobre la superfície de l'objecte, cridades polodia i herpolodia, les quals descriuen el moviment del mateix.

Precesión deguda a moments externs

Archiu:Wiki euler trompo.jpg

Ànguls usats per a descriure l'orientació de la peonza.

Precesión en un sòlit de revolució

Es diu peonza simètrica en moviment lliure a un sòlit rígit de revolució, en dos dels seus moments d'inèrcia principals iguals $I_1=I_2\ne I_3$. Com en una peonza simètrica es poden triar arbitrariamente els eixos 1 i 2, convé aprofitar eixe fet per a simplificar les expressions prenent l'eix 1 paralel a la llínea nodal dels ànguls de Euler la qual cosa equival a que ψ = 0.

La qual cosa du a que les velocitats angulars en el sistema de referència no inercial vengen donades per:

l'energia cinètica de rotació d'una peonza simètrica ($I_1=I_2\ne I_3$) pot expressar-se en térmens dels ànguls de Euler senzillament:

Per un atre costat si es pren l'eix Z del sistema de referència alineat en el moment angular del sòlit rígit es té que les components del moment angular i la relació en la velocitat angular són:

Escrivint component a component estes equacions es té que:

$\dot{\theta }=0I_1\dot{\varphi }=L{I}_3{\omega }_3=I_3(\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{\psi })=L\cos \theta$

La primera equació nos diu que en el moviment lliure d'una peonza simètrica esta no caboteja; és dir, no hi ha moviment de nutación ya que l'àngul format per l'eix de rotació i el moment angular es manté constant en el moviment. La segona descriu el moviment de precesión d'acort en el qual l'eix de rotació (que coincidix en la direcció de la velocitat angular) gira al voltant de la direcció del moment angular (eix Z). La tercera equació dona la velocitat de rotació del sòlit al voltant del seu tercer eix d'inèrcia.

Giroscopi

Tots els vectores del dibuix menys les forces estan en un pla horisontal. Com el moment dinàmic 𝐌 aplicat al cos és perpendicular al moment angular 𝐋, únicament este últim canvia de direcció. Eixe canvi és la precesión.

Tots els vectores del dibuix menys les forces estan en un pla horisontal. Com el moment dinàmic $𝐌$ aplicat al cos és perpendicular al moment angular $𝐋$, únicament este últim canvia de direcció. Eixe canvi és la precesión.

Recordem que el moment angular és un vector que té com a mòdul, el producte del moment d'inèrcia del cos al voltant de l'eix de rotació, multiplicat per la velocitat angular. La direcció del vector és la mateixa que la del vector associat a la velocitat angular i està donada per la regla de la mà dreta. L'equació de base del moment angular d'un cos és:

$\frac{d𝐋}{dt}=𝐌$

a on $𝐋$ és el moment angular del cos i $𝐌$ és el moment de força aplicat al cos. Esta equació correspon, en el moviment llineal, a l'equació $𝐅=\frac{d𝐩}{dt}$ a on $𝐅$ és la força aplicada a un cos i $𝐩=m𝐯$ és el moment llineal del cos.

Quan el moment de força és paralel al moment angular, o siga, paralel a l'eix de rotació, res canvia en la rotació. En canvi, una component del moment, perpendicular a l'eix de rotació, no canvia el mòdul de la velocitat angular sino la seua direcció, és dir la direcció de l'eix de rotació del cos.

Considerem el cos en rotació de l'image de dreta. Quan se li aplica un moment dinàmic com l'indicat per les forces dibuixades, la direcció de la variació del moment angular és l'indicada en el dibuix. Esta variació és perpendicular al moment angular i paralela al moment. La variació de $𝐋$ durant un interval de temps $\Delta t$ és:

$\Delta 𝐋=𝐌\Delta t$

Note's que $\Delta 𝐋$ té la mateixa direcció que $𝐌$. L'àngul $\Delta \varphi$ que el nou moment angular $𝐋+\Delta 𝐋$ fa en el precedent $𝐋$ complix que:

$\tan \Delta \varphi =\frac{\Delta L}{L}$

Si el cocient $\frac{\Delta L}{L}$ és chicotet (i. g. menor a 5 ° en magnitut, típicament causat per un interval de temps $\Delta t$ menut), l'àngul $\Delta \varphi$ es pot obtindre de l'aproximació de l'equació anterior mostrada a continuació:

$\Delta \varphi \approx \frac{\Delta L}{L}$

La velocitat de precesión del giroscopi és la velocitat angular del vector $𝐋$ que és la mateixa que la de l'eix de rotació d'este últim:

Velocitat de precesión $=\Omega =\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}=\frac{M}{L}$

La velocitat de precesión és una velocitat angular i es medix en radianes/segon.

La velocitat de precesión és tant més chicoteta quant més gran és el moment angular del cos.

La precesión pot explicar-se intuitivamente per el "model de roda quadrada".

Trompa o peonza

Artícul principal → Trompa.

Archiu:Precession-nutation-vec-ES.svg

Figura 1.

Si l'eix de rotació del trompa, z, forma un cert àngul $\varphi$ en la vertical, com ocorre generalment, dit eix es mou en l'espai generant una superfície cònica de revolució entorn a l'eix vertical fix Z. Este moviment de l'eix de rotació rep el nom de precesión de la peonza i l'eix Z és l'eix de precesión. Generalment, l'àngul $\varphi$ varia periòdicament durant el moviment de precesión de la peonza, de modo que l'eix de rotació oscila acostant-se i alluntant-se de l'eix de precesión (dècims que la trompa caboteja); a este moviment se li crida nutación i a l'àngul $\varphi$ se li crida àngul de nutación. En l'estudi elemental que seguix no tindrem en conte este últim moviment; i.i., considerarem un àngul de nutación constant.

Utilisarem dos referencials per a descriure el moviment de la trompa. Un d'ells és el referencial fix XYZ, en orige en el punt O (estacionario) de l'eix de rotació de la trompa. L'atre referencial és el referencial mòvil xyz, l'orige del qual és també el punt O (estacionario). Farem coincidir l'eix z en l'eix de rotació de la trompa; l'eix x ho elegim de modo que permaneixca sempre horisontal, contingut en el pla XY. L'àngul $\psi$ que forma en cada instant l'eix x en l'eix X rep el nom d'àngul de precesión. En conseqüència, l'eix i estarà sempre contingut en el pla definit pels eixos z i Z, com es mostra en la Figura 1, formant un àngul $\varphi$ en el pla XY. Observe's que el referencial xyz no és solidari en la trompa, i.i., no és arrastrat per la rotació d'est, sino que presenta una rotació sobre el referencial fix XYZ en una certa velocitat angular $\Omega$ cridada velocitat angular de precesión.

Com en aplicar l'equació del moviment de rotació del sòlit rígit, M = dL/dt, tant el moment extern (M) com el moment angular (L) deuen estar referits a un mateix punt fix en un referencial inercial (o a el CM del cos), prendrem el punt O com a orige o centre de reducció.

Archiu:Precession-nutation-con-ES.svg

Figura 2.

ya que la trompa està girant, en una velocitat angular intrínseca ω, al voltant del eix principal d'inèrcia z, el seu moment angular serà paralel a la velocitat angular (o siga, serà paralel a l'eix z), i ve dau per

(1) $L=I_{zz}\omega$

Per una atra part, el moment extern que actua sobre la trompa es deu al pese mg que actua en el centre de gravetat G i és igual al producte vectorial

(2) $𝐌=\text{OG}\times m𝐠$

de modo que el moment extern M resulta ser perpendicular a l'eix de rotació, o siga que $𝐌\mathrm{\perp }𝐋$. El mòdul del moment aplicat és

(3) $M=mgh\mathrm{sen}\varphi$

sent h=OG la distància entre el punt estacionario de la trompa (l'extrem del seu púa) i el centre de gravetat del mateix. La direcció de M és la de l'eix x.

Com el moment extern aplicat a la trompa no és nul, el moment angular no permaneixerà constant. Durant un interval de temps infinitesimal dt el canvi infinitesimal experimentat pel moment angular val

(4) $d𝐋=𝐌dt$

de modo que el canvi dL en el moment angular té sempre la mateixa direcció que el moment aplicat M (de la mateixa manera que el canvi en la cantitat de moviment té sempre la mateixa direcció que la força). Com el moment M és perpendicular al moment angular L, el canvi dL en el moment angular també és perpendicular a L. Per tant, el vector moment angular canvia de direcció, pero el seu mòdul permaneix constant (figura 2). Naturalment, ya que el moment angular té sempre la direcció de l'eix de rotació este canviarà també la seua orientació en l'espai en el transcurs del temps.

L'extrem del moment angular L descriu una circumferència, de radi $L\mathrm{sen}\varphi$, al voltant de l'eix fix Z i en un temps dt dit radi experimenta un desplaçament angular dψ. La velocitat angular de precesión Ω es definix com la velocitat angular en la que gira l'eix z entorn a l'eix fix Z. Açò és

(5) $\Omega =\frac{d\psi }{dt}$

i està representat per un vector situat sobre eix Z.

ya que L és un vector de mòdul constant que precesa al voltant de l'eix Z en una velocitat angular Ω, podem escriure l'equació diferencial del moviment de rotació en la forma

(6) $𝐌=\frac{d𝐋}{dt}=𝜴\times 𝐋$

obtenint-se per al mòdul del moment

(7) $M=\Omega L\mathrm{sen}\varphi$

expressió de la que rebujarem Ω per a tindre

(8) $\Omega =\frac{M}{L\mathrm{sen}\varphi }=\frac{mgh}{L}=\frac{mgh}{I_{zz}\omega }$

a on hem substituït les expressions (1) i (2) per al moment angular i el moment, respectivament. La velocitat angular de precesión, Ω, resulta ser inversamente proporcional al moment angular (L) o a la velocitat angular intrínseca (ω), de modo que si este o esta és gran, aquella serà menuda.

Observe's que la velocitat angular de precesión no depén de l'àngul d'inclinament de la trompa. Esta propietat és molt important en el fonament de la resonància magnètica nuclear i de les seues aplicacions.

Pero, ¿per qué no cau la trompa? La resposta és que la força vertical eixercida sobre ell pel sol (en l'extrem O de la púa) és exactament igual al pes de la trompa, de modo que la força resultant vertical és nula. La component vertical de la cantitat de moviment permaneixerà constant pero, degut a que el moment no és nul, el moment angular canvia en el temps. Si la trompa no estiguera en rotació, en abandonar-ho no hi hauria moment angular i a la veta d'un interval de temps infinitesimal, dt, el moment angular dL adquirit, en virtut del parell de forces que actua sobre ell, tindria la mateixa direcció que el vector M; açò és, que cauria. Pero si la trompa es troba inicialment en rotació, la variació del moment angular, dL, produïda pel parell, se suma vectorialmente al moment angular que ya té, i lloc que dL és horisontal i perpendicular a L, el resultat és el moviment de precesión anteriorment descrit.

Archiu:Precession-nutation-xyz-ES.svg

Figura 3.

Els resultats obtinguts en la nostra discussió del moviment de la trompa són solament aproximats. Són correctes si ω és molt gran en comparació a Ω (situació compatible en la ec. [7]). La raó és que si la trompa està precesando entorn a l'eix fix vertical Z tindrà un moment angular sobre dit eix, de modo que el moment angular total no serà simplement I_zzω, com vàrem supondre. No obstant, si la precesión és molt llenta, el moment angular corresponent a eixa precesión pot despreciar-se, com implícitament hem fet en els nostres càlculs anteriors.

Per una atra part, una discussió més detallada nos mostraria que en general l'àngul de precesión$\varphi$ no permaneix constant, sino que oscila entre dos valors fixos, de modo que l'extrem del vector L, al mateix temps que precesa al voltant de Z, oscila entre dos círculs, com es mostra en la figura 3, descrivint la trayectòria indicada.

Per a comprendre el perqué d'estes oscilacions deurem considerar el modo en que s'origina el moviment de precesión. Si inicialment mantenim fixa l'orientació de l'eix de rotació z (recolzant el seu extrem superior) el pes de la trompa estarà compensat per la reacció normal N en el punt O més la reacció normal en el respal de l'extrem superior de l'eix, de modo que resultarà ser N < mg. Si una volta que la trompa ha adquirit un ràpit moviment de rotació, abandonem l'eix, llavors, encara un instant despuix serà N < mg, de modo que tenim una força resultant vertical i dirigida cap a avall. La trompa comença a caure, pero en eixe instant comença la precesión. Com a conseqüència del moviment de caiguda, la púa de la trompa es recolza en el sol en més força, de modo que aumenta la força de reacció vertical N, que finalment aplegarà a ser major que el pes. Quan açò succeïx, el centre de massa de la trompa comença a accelerar cap a dalt. El procés es repetix, i el moviment es compon d'una precesión acompanyada d'una oscilació de l'eix de rotació cap a avall i cap a dalt, que rep el nom de nutación. La nutación, de la mateixa manera que la precesión, contribuïx al moment angular total, pero en general la seua contribució és encara menor que la de la precesión.