Bivector

Sectors de plans paralels i en la mateixa orientació i àrea, es corresponen en el mateix bivector a ∧ b.^[1]

En matemàtiques, un bivector o 2-vector és una cantitat en àlgebra exterior o àlgebra geomètrica que amplia l'idea d'escalares i vectorés. Si un escalar es considera una cantitat d'orde zero, i un vector és una cantitat d'orde un, llavors es pot considerar que un bivector és d'orde dos.

Els bivectores tenen aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques i la física. Estan relacionats en els número complejo en dos dimensions i en els vectores axials i els cuaterniones en tres dimensions. Es poden usar per a generar rotacions en qualsevol número de dimensions, i són una ferramenta útil per a classificar tals rotacions. També s'utilisen en física, unint vàries cantitats no relacionables d'una atra manera.

El producte exterior aplicat sobre els vectores genera bivectores: daus dos vectores a i b, el seu producte exterior a ∧ b és un bivector, de la mateixa manera que la suma de qualsevol bivector. No tots els bivectores es poden generar com un sol producte exterior. Més precisament, un bivector que es pot expressar com un producte exterior es diu simple. En fins a tres dimensions, tots els bivectores són simples, pero en dimensions superiors no és aixina.^[2] El producte exterior de dos vectores és anticonmutativo i alternante, per lo que b ∧ a és l'opost del bivector a ∧ b, que produïx l'orientació oposta, i a ∧ a és el bivector zero.

Geomètricament, un bivector simple es pot interpretar com un sector pla orientat, de forma anàloga a pensar en un vector com un segment en una direcció donada.^[3] El bivector a ∧ b té una magnitut igual a l'àrea del paralelogramo en costats a i b; té la colocació del pla que comprén a i b; i té el sentit de la rotació que alinearia a en b.^[4]

En térmens simples, qualsevol superfície s'assimila al mateix bivector si té la mateixa àrea, la mateixa orientació i és paralela al mateix pla (vore la figura).

Història

El bivector va ser definit per primera volta en 1844 pel matemàtic alemà Hermann Grassmann en àlgebra exterior com el resultat del producte exterior de dos vectores. A penes l'any anterior, en Irlanda, Hamilton havia descobert el cuaternión. Caldria esperar fins a 1888 per a que el matemàtic anglés William Kingdon Clifford agregara el producte geomètric a l'àlgebra de Grassmann, incorporant les idees d'Hamilton i de Grassmann. De la fusió de les dos idees va sorgir la denominada àlgebra de Clifford, gràcies a la que el bivector es va entendre completament tal com es coneix hui en dia.

Al voltant d'esta época, Josiah Willard Gibbs i Oliver Heaviside varen desenrollar el càlcul vectorial, que incloïa el producte vectorial i el producte escalar separats, deduïts a partir de la multiplicació de cuaterniones.^[5] L'èxit del càlcul vectorial i del llibre Anàlisis Vectorial de Gibbs i Wilson va tindre l'efecte de que les idees d'Hamilton i Clifford es passaren per alt durant molt temps, ya que gran part de les matemàtiques i física de el XX es varen formular utilisant vectores. Gibbs va utilisar els vectores per a eixercitar el paper dels bivectores en tres dimensions, i es va servir dels bivectores per a descriure cantitats no relacionades, un us que a voltes s'ha copiat. Hui en dia, els bivectores s'estudien àmpliament com a part del àlgebra geomètrica, un àlgebra de Clifford sobre un espai vectorial real o complex dotat d'una forma quadràtica no degenerada. El seu resorgiment va ser liderat per David Hestenes, que junt en atres investigadors, va aplicar l'àlgebra geomètrica a una gama de noves aplicacions en física.^[6]

Conceptes generals

Per a este artícul, el bivector es considerarà solament en àlgebra geomètriques reals. Açò en la pràctica no és una restricció, ya que totes les aplicacions útils s'extrauen de tals àlgebra. Ademés, a menos que s'indique lo contrari, tots els eixemples posseïxen una mètrica euclídea i, per lo tant, una forma quadràtica definida-positiva associada.

L'àlgebra geomètrica i el producte geomètric

El bivector sorgix de la definició del producte geomètric sobre un espai vectorial. Per als vectores a, b i c, el producte geomètric dels vectores es definix de la següent manera:

Asociatividad (àlgebra): $(𝐚 𝐛) 𝐜 = 𝐚 (𝐛 𝐜)$
Distributividad a esquerra i a dreta: $\begin{matrix} 𝐚 (𝐛 + 𝐜) & = 𝐚 𝐛 + 𝐚 𝐜 \\ (𝐛 + 𝐜) 𝐚 & = 𝐛 𝐚 + 𝐜 𝐚 \end{matrix}$
Contracció: $𝐚^{2} = Q (𝐚) = ϵ_{𝐚} {| 𝐚 |}^{2}$
a on Q és la forma quadràtica, |a| és la magnitut de a i ϵ_a és la signatura del vector. Per a un espai en mètrica euclidiana ϵ_a és 1, es pot ometre, i la condició de contracció és:; $𝐚^{2} = {| 𝐚 |}^{2}$

El producte interior

De la asociatividad a(ab) = a²b, un escalar que multiplica a b. Quan b no és paralel a i, per lo tant, no és un múltiple escalar de a, ab no pot ser un escalar. Pero

\frac{1}{2} (𝐚 𝐛 + 𝐛 𝐚) = \frac{1}{2} ((𝐚 + 𝐛)^{2} - 𝐚^{2} - 𝐛^{2})

és una suma d'escalares i per lo tant és un escalar. A partir del teorema del coseno en el triàngul format pels vectores, el seu valor és |a||b| cosθ, a on θ és l'àngul entre els vectores. Per lo tant, és idèntic al producte interior entre dos vectores, i s'escriu de la mateixa manera:

𝐚 \cdot 𝐛 = \frac{1}{2} (𝐚 𝐛 + 𝐛 𝐚) .

És simètric, té valor escalar i es pot utilisar per a determinar l'àngul entre dos vectores: en particular, si a i b són ortogonals, el producte és zero.

El producte exterior

De la mateixa manera que el producte interior es pot formular com la part simètrica del producte geomètric d'una atra cantitat, el producte exterior es pot formular com el seu part antisimètrica:

𝐚 \land 𝐛 = \frac{1}{2} (𝐚 𝐛 - 𝐛 𝐚)

És antisimètric en a i b

𝐛 \land 𝐚 = \frac{1}{2} (𝐛 𝐚 - 𝐚 𝐛) = - \frac{1}{2} (𝐚 𝐛 - 𝐛 𝐚) = - 𝐚 \land 𝐛

i per adició:

𝐚 \cdot 𝐛 + 𝐚 \land 𝐛 = \frac{1}{2} (𝐚 𝐛 + 𝐛 𝐚) + \frac{1}{2} (𝐚 𝐛 - 𝐛 𝐚) = 𝐚 𝐛

És dir, el producte geomètric és la suma del producte interior simètric i del producte exterior antisimètric.

Per a examinar la naturalea de a ∧ b, considere's la fòrmula

(𝐚 \cdot 𝐛)^{2} - (𝐚 \land 𝐛)^{2} = 𝐚^{2} 𝐛^{2},

que utilisant el teorema de Pitágoras, dona el valor de (a ∧ b)²

(𝐚 \land 𝐛)^{2} = (𝐚 \cdot 𝐛)^{2} - 𝐚^{2} 𝐛^{2} = {| 𝐚 |}^{2} {| 𝐛 |}^{2} (\cos^{2} θ - 1) = - {| 𝐚 |}^{2} {| 𝐛 |}^{2} \sin^{2} θ

Un quadrat negatiu no pot ser una cantitat escalar o vectorial, per lo que és un nou tipo d'objecte, un bivector. Té magnitut Plantilla:Absf Plantilla:Absf Plantilla:Absf, a on θ és l'àngul entre els vectores, i per lo tant és zero per a vectores paralels.

Per a distinguir-los dels vectores, els bivectores s'escriuen ací en mayúscules en negreta, per eixemple:

𝐀 = 𝐚 \land 𝐛 = - 𝐛 \land 𝐚,

encara que s'utilisen atres convencions, en particular quan vectores i bivectores són elements de l'àlgebra geomètrica.

Propietats

L'espai Λ²ℝⁿ

L'àlgebra generada pel producte geomètric és l'àlgebra geomètrica sobre l'espai vectorial. Per a un espai vectorial euclídeo s'escriu $𝒢_{n}$ o Cℓ_n(ℝ), a on n és la dimensió de l'espai vectorial ℝⁿ. Cℓ_n és tant un espai vectorial com un àlgebra, generat per tots els productes entre vectores en ℝⁿ, per lo que conté tots els vectores i bivectores. Més precisament, sent un espai vectorial, conté els vectores i bivectores com subespacios vectorials, encara que no subálgebras (ya que el producte geomètric de dos vectores no és generalment un atre vector). L'espai de tots els bivectores s'escriu Λ²ℝⁿ.^[7]

Subálgebra parell

La subálgebra generada pels bivectores és la subálgebra parell de l'àlgebra geomètrica, denotada com a Cℓ+
n. Este àlgebra resulta de considerar tots els productes d'escalares i bivectores generats pel producte geomètric. Té la dimensió 2ⁿ⁻¹ i conté Λ²ℝⁿ com un subespacio llineal en la dimensió Plantilla:Sfracn(n−1) (un número triangular). En dos i tres dimensions, la subálgebra uniforme conté solament escalares i bivectores, i cada u és de particular interés. En dos dimensions, la subálgebra parell és isomòrfica als número complejo, mentres que en tres és isomorfa als cuaterniones. Més generalment, la subálgebra uniforme pot usar-se per a generar rotacions en qualsevol dimensió, i pot ser generada per bivectores en l'àlgebra.

Magnitut

Com es va senyalar en la secció anterior, la magnitut d'un bivector simple, que és el producte exterior de dos vectores a i b, és |a| |b| sense θ, a on θ és l'àngul entre els vectores. S'escriu |B|, a on B és el bivector.

Per als bivectores generals, la magnitut es pot calcular prenent la norma del bivector considerat com un vector en l'espai Λ²ℝⁿ. Si la magnitut és zero, llavors totes les components del bivector són zero, i el bivector és el bivector zero, que com a element de l'àlgebra geomètrica és igual al zero escalar.

Bivectores unitat

Un bivector unitat posseïx magnitut 1. Es pot construir a partir de qualsevol bivector que no siga zero, dividint el bivector per la seua magnitut, és dir

\frac{𝐁}{| 𝐁 |} .

De particular interés són els bivectores unitaris formats a partir dels productes de la base canònica. Si i _i i i _j són vectores d'una base distints entre sí, llavors el producte i_i ∧ i_j és un bivector. Com els vectores són ortogonals, açò és sol i_i i_j, escrit i_ij, en magnitut un, ya que els vectores són tots unitaris. El conjunt de tots estos bivectores formen una base de Λ²ℝⁿ. Per eixemple, en quatre dimensions, la base de Λ²ℝ⁴ és (i₁ i₂, i₁ i₃, i₁ i₄, i₂ i₃, i₂ i₄, i₃ i₄) o (i₁₂, i₁₃, i₁₄, i₂₃, i₂₄, i₃₄).^[8]

Bivectores simples

El producte exterior de dos vectores és un bivector, pero no tots els bivectores són productes exteriors de dos vectores. Per eixemple, en quatre dimensions el bivector

𝐁 = 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} + 𝐞_{3} \land 𝐞_{4} = 𝐞_{1} 𝐞_{2} + 𝐞_{3} 𝐞_{4} = 𝐞_{12} + 𝐞_{34}

no es pot escriure com el producte exterior de dos vectores. Un bivector que es pot escriure com el producte exterior de dos vectores és simple. En dos i tres dimensions tots els bivectores són simples, pero no en quatre o més dimensions; en quatre dimensions, cada bivector és la suma de, com a màxim, dos productes exteriors. Un bivector té un quadrat real solament si és simple, i solament els bivectores simples poden representar-se geomètricament per mig d'un àrea de pla orientat.^[2]

Producte de dos bivectores

El producte geomètric de dos bivectores, A i B, és

𝐀 𝐁 = 𝐀 \cdot 𝐁 + 𝐀 \times 𝐁 + 𝐀 \land 𝐁 .

La cantitat A · B és el producte interior de valor escalar, mentres que A ∧ B és el producte exterior de grau 4 que sorgix en quatre o més dimensions. La cantitat A × B és el producte commutador de dos operadors de valor bivector, donat per

𝐀 \times 𝐁 = \frac{1}{2} (𝐀 𝐁 - 𝐁 𝐀),

^[9]

L'espai dels bivectores Λ²ℝⁿ és un àlgebra de Lie sobre ℝ, en el producte del commutador com el soport de Lie. El producte geomètric complet dels bivectores genera una subálgebra uniforme.

De particular interés és el producte d'un bivector conseguixc mateix. Com el producte del commutador és antisimètric, el producte se simplifica a

𝐀 𝐀 = 𝐀 \cdot 𝐀 + 𝐀 \land 𝐀 .

Si el bivector és "simple", l'últim terme és zero i el producte A · A és de valor escalar, que es pot usar per a verificar la simplicitat. En particular, el producte exterior dels bivectores solament existix en quatre o més dimensions, per lo que tots els bivectores en dos i tres dimensions són simples.^[2]

Dos dimensions

Quan es treballa en coordenades en àlgebra geomètrica, és habitual escriure la base com (i₁, i₂, ...), una convenció que s'usarà ací.

Un vector en l'espai bidimensional real ℝ² es pot escriure com a = a₁i₁ + a₂i₂, a on a₁ i a₂ són dos número real; i i₁ i i₂ són els vectores d'una base ortonormal. El producte geomètric de dos de tals vectores és

\begin{matrix} 𝐚 𝐛 & = (a_{1} 𝐞_{1} + a_{2} 𝐞_{2}) (b_{1} 𝐞_{1} + b_{2} 𝐞_{2}) \\ = a_{1} b_{1} 𝐞_{1} 𝐞_{1} + a_{1} b_{2} 𝐞_{1} 𝐞_{2} + a_{2} b_{1} 𝐞_{2} 𝐞_{1} + a_{2} b_{2} 𝐞_{2} 𝐞_{2} \\ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) 𝐞_{1} 𝐞_{2} . \end{matrix}

Açò es pot dividir en el producte interior simètric, de valor escalar, i un producte exterior antisimètric, de valor bivectorial:

\begin{matrix} 𝐚 \cdot 𝐛 & = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}, \\ 𝐚 \land 𝐛 & = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) 𝐞_{1} 𝐞_{2} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) 𝐞_{12} . \end{matrix}

Tots els bivectores en dos dimensions són d'esta forma, és dir, múltiples del bivector i₁ i₂, escrit i₁₂ per a emfatisar que és un bivector en lloc d'un vector. La magnitut de i₁₂ és 1, en

𝐞_{12}^{2} = - 1,

per això es diu el bivector unitat. El terme bivector unitat es pot usar en atres dimensions, pero solament es definix de forma única (fins al signe) en dos dimensions i tots els bivectores són múltiples de i₁₂. Com l'element de grau més alt de l'àlgebra i₁₂, és també el pseudoscalar que rep el símbol i.

Número complejo

En les propietats del quadrat negatiu i la magnitut de l'unitat, el bivector unitat es pot identificar en l'unitat imaginària dels número complejos. Els bivectores i els escalares formen junts la subálgebra uniforme de l'àlgebra geomètrica, que és un isomorfisme sobre els número complejo. El subálgebra parell té base (1, i₁₂), tot l'àlgebra té base (1, i₁, i₂, i₁₂).

Els número complejo generalment s'identifiquen en els vectores en coordenades cartesianas bidimensionales, lo que significaria associar-los en els elements vectorials de l'àlgebra geomètrica. No hi ha cap contradicció en açò, ya que per a passar d'un vector general a un número complejo, un eix deu identificar-se com l'eix real, denominat i₁. Açò es multiplica per tots els vectores per a generar els elements del subálgebra parell.

Totes les propietats dels número complejo poden derivar-se dels bivectores, pero dos són de particular interés. En primer lloc, com els número complejo, el producte de bivectores i per lo tant, la subálgebras parells són conmutativas. Açò solament és cert en dos dimensions, per lo que les propietats del bivector en dos dimensions que depenen de la conmutatividad no solen generalisar-se a dimensions més altes.

En segon lloc, es pot escriure un bivector general com

θ 𝐞_{12} = i θ,

a on θ és un número real. Aplicant la série de Taylor de l'exponencial i usant la propietat i₁₂² = −1, s'obté com resultat una versió bivectorial de la fòrmula de Euler,

e^{θ 𝐞_{12}} = e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ,

que quan es multiplica per qualsevol vector lo trencada en un àngul θ sobre l'orige:

(x^{'} 𝐞_{1} + y^{'} 𝐞_{2}) = (x 𝐞_{1} + y 𝐞_{2}) e^{i θ} .

El producte d'un vector en un bivector en dos dimensions és anticonmutativo, per lo que els següents productes generen la mateixa rotació:

𝐯^{'} = 𝐯 e^{i θ} = e^{- i θ} 𝐯 = e^{\frac{- i θ}{2}} 𝐯 e^{\frac{i θ}{2}} .

D'estos, l'últim producte és el que es generalisa en dimensions més altes. La cantitat necessària es diu rotor i rep el símbol R, per lo que en dos dimensions es pot escriure un rotor que gire l'àngul θ com:

R = e^{\frac{- i θ}{2}} = e^{\frac{- θ 𝐞_{12}}{2}},

i la rotació que genera és:^[10]

𝐯^{'} = R 𝐯 R^{- 1} .

Tres dimensions

En tres dimensions el producte geomètric de dos vectores és:

\begin{matrix} 𝐚 𝐛 & = (a_{1} 𝐞_{1} + a_{2} 𝐞_{2} + a_{3} 𝐞_{3}) (b_{1} 𝐞_{1} + b_{2} 𝐞_{2} + b_{3} 𝐞_{3}) \\ = a_{1} b_{1} {𝐞_{1}}^{2} + a_{2} b_{2} {𝐞_{2}}^{2} + a_{3} b_{3} {𝐞_{3}}^{2} + (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) 𝐞_{2} 𝐞_{3} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) 𝐞_{3} 𝐞_{1} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) 𝐞_{1} 𝐞_{2} . \end{matrix}

Açò es pot dividir en el producte simètric, de valor escalar, interior; i en el producte antisimètric, de valor bivector, exterior:

\begin{matrix} 𝐚 \cdot 𝐛 & = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \\ 𝐚 \land 𝐛 & = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) 𝐞_{23} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) 𝐞_{31} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) 𝐞_{12} . \end{matrix}

En tres dimensions, tots els bivectores són simples i, per lo tant, el resultat d'un producte exterior. Els bivectores unitaris i₂₃, i₃₁ i i₁₂ formen una base de l'espai dels bivectores Λ²ℝ³, que en sí és un espai llineal tridimensional. Aixina que si un bivector general és:

𝐀 = A_{23} 𝐞_{23} + A_{31} 𝐞_{31} + A_{12} 𝐞_{12},

es poden agregar com vectores

𝐀 + 𝐁 = (A_{23} + B_{23}) 𝐞_{23} + (A_{31} + B_{31}) 𝐞_{31} + (A_{12} + B_{12}) 𝐞_{12} .

mentres que quan es multipliquen produïxen lo següent:

𝐀 𝐁 = - A_{23} B_{23} - A_{31} B_{31} - A_{12} B_{12} + (A_{12} B_{31} - A_{31} B_{12}) 𝐞_{23} + (A_{23} B_{12} - A_{12} B_{23}) 𝐞_{31} + (A_{31} B_{23} - A_{23} B_{31}) 𝐞_{12}

que es pot dividir en les seues parts escalar i bivectorial (antisimètrica i simètrica) de la següent manera

\begin{matrix} 𝐀 \cdot 𝐁 & = - A_{12} B_{12} - A_{31} B_{31} - A_{23} B_{23} \\ 𝐀 \times 𝐁 & = (A_{23} B_{31} - A_{31} B_{23}) 𝐞_{12} + (A_{12} B_{23} - A_{23} B_{12}) 𝐞_{13} + (A_{31} B_{12} - A_{12} B_{31}) 𝐞_{23} . \end{matrix}

El producte exterior de dos bivectores en tres dimensions és zero.

Un bivector B pot escriure's com el producte de la seua magnitut i un bivector unitari, per lo que s'escriu β per a |B| i utilisant la série de Taylor per a l'exponencial es pot demostrar que

e^{𝐁} = e^{β \frac{𝐁}{β}} = \cos β + \frac{𝐁}{β} \sin β .

Esta és una atra versió de la fòrmula de Euler, pero en un bivector general en tres dimensions. A diferència del cas en dos dimensions, els bivectores no són conmutativos, per lo que les propietats que depenen de la conmutatividad no s'apliquen en tres dimensions. Per eixemple, en general i^{A + B} ≠ i^Ai^B en tres (o més) dimensions. L'àlgebra geomètrica completa en tres dimensions, Cℓ₃(ℝ), té base (1, i₁, i₂, i₃, i₂₃, i₃₁, i₁₂, i₁₂₃). L'element i₁₂₃ és un trivector i el pseudoscalar de la geometria. Els bivectores en tres dimensions a voltes s'identifiquen en els vectores axials^[11] en els que estan relacionats, com s'analisa més alvance.

Cuaterniones

Els bivectores no estan tancats baix el producte geomètric, pero la subálgebra és uniforme. En tres dimensions, consta de tots els elements escalares i bivectores de l'àlgebra geomètrica, per lo que es pot escriure un element general, per eixemple, a+A, a on a és la part escalar i A és la part bivector. Està escrit en Cℓ+
3 i té base (1, i₂₃, i₃₁, i₁₂). El producte de dos elements generals de la subálgebra parell és

(a + 𝐀) (b + 𝐁) = a b + a 𝐁 + b 𝐀 + 𝐀 \cdot 𝐁 + 𝐀 \times 𝐁 .

La subálgebra parell, que és l'àlgebra que consta d'escalares i bivectores, és isomorfa als cuaterniones, ℍ. Açò es pot vore comparant la base en la base dels cuaterniones, o del producte vist anteriorment, que és idèntic el producte de cuaterniones, llevat per un canvi de signe que es relaciona en els productes negatius en el producte interior bivectorial A · B. Atres propietats del cuaternión poden relacionar-se de manera similar o derivar-se de l'àlgebra geomètrica.

Açò sugerix que la divisió habitual d'un cuaternión en parts escalares i vectorials es representaria millor com una divisió en parts escalares i bivectoriales. Si s'aplica este criteri, el producte de cuaterniones és simplement el producte geomètric. També relaciona els cuaterniones en tres dimensions en els número complejo en dos, ya que cada u és isomorfo a la subálgebra parell de la dimensió corresponent, una relació que es generalisa a dimensions més altes.

Vector de rotació

El vector de rotació, la representació axial-angular d'un gir, és una forma compacta de representar rotacions en tres dimensions. En la seua forma més compacta, consistix en un vector, el producte d'un vector unitari ω que és l'eix de rotació en l'àngul (en el seu signe) de rotació θ, de modo que la magnitut del vector de rotació general θω és igual a l'àngul de rotació (sense signe).

El cuaternión associat a la rotació és:

q = (\cos (\frac{θ}{2}), ω \sin (\frac{θ}{2}))

En àlgebra geomètrica la rotació està representada per un bivector. Açò es pot vore en la seua relació en els cuaterniones. Siga Ω un bivector en el pla de rotació, i siga θ l'àngul de rotació. Llavors, el bivector de rotació és Ωθ. El cuaternión es correspon estretament en l'exponencial de la mitat del bivector Ωθ. És dir, els components del cuaternión corresponen a les parts escalares i bivectoriales de la següent expressió:

$e^{\frac{Ω θ}{2}} = \cos (\frac{θ}{2}) + Ω \sin (\frac{θ}{2})$

L'exponencial es pot definir en térmens de les seues séries de potències i es pot evaluar fàcilment utilisant el fet de que Ω al quadrat és -1.

Aixina, les rotacions poden ser representades per bivectores. De la mateixa forma, els cuaterniones són elements de l'àlgebra geomètrica, i estan relacionats per l'aplicació exponencial en eixe àlgebra.

Rotors

El bivector Ωθ genera una rotació a través de l'aplicació exponencial. Els elements pares generats fan girar un vector general en tres dimensions de la mateixa manera que els cuaterniones:

𝐯^{'} = e^{\frac{𝜴 θ}{2}} 𝐯 e^{- \frac{𝜴 θ}{2}} .

Sobre el cas en dos dimensions, la cantitat i^Ωθ es diu rotor i s'escriu R. La cantitat i^−Ωθ és llavors R⁻¹, i genera les rotacions de la següent manera

𝐯^{'} = R 𝐯 R^{- 1} .

Açò és idèntic al cas de dos dimensions, excepto que ací els rotors són objectes de quatre dimensions isomorfos als cuaterniones. Açò pot generalisar-se a totes les dimensions, en rotors, elements de la subálgebra parell en magnitut un, generats per l'aplicació exponencial dels bivectores. Formen un recobriment doble sobre el grup de rotació, per lo que els rotors R i -R representen la mateixa rotació.

Matrius

Els bivectores són isomorfos a les matrius antisimètriques. El bivector general B₂₃i₂₃ + B₃₁i₃₁ + B₁₂i₁₂ es correspon en la matriu.

M_{B} = (\begin{matrix} 0 & B_{12} & - B_{31} \\ - B_{12} & 0 & B_{23} \\ B_{31} & - B_{23} & 0 \end{matrix}) .

Açò, multiplicat per vectores en abdós costats, dona el mateix vector que el producte d'un vector i un bivector menys el producte extern. Un eixemple és el cas de la velocitat angular.

Les matrius antisimètriques generen matrius ortogonals en determinant 1 a través de l'aplicació exponencial. En particular, l'exponent d'un bivector associat en una rotació és una matriu de rotació, és dir, la matriu de rotació M_R donada per la matriu antisimètrica anterior és:

M_{R} = e^{M_{B}} .

La rotació descrita per M_R és la mateixa que la descrita pel rotor R donada per:

R = e^{\frac{B}{2}},

i la matriu M_R també es pot calcular directament des del rotor R:

M_{R} = (\begin{matrix} (R 𝐞_{1} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{1} & (R 𝐞_{2} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{1} & (R 𝐞_{3} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{1} \\ (R 𝐞_{1} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{2} & (R 𝐞_{2} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{2} & (R 𝐞_{3} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{2} \\ (R 𝐞_{1} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{3} & (R 𝐞_{2} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{3} & (R 𝐞_{3} R^{- 1}) \cdot 𝐞_{3} \end{matrix}) .

Els bivectores estan relacionats en els valors propis d'una matriu de rotació. Donada una matriu de rotació M, els valors propis poden calcular-se resolent l'equació característica per a eixa matriu 0 = det(M − λI). Pel teorema fonamental de l'àlgebra este polinomi posseïx tres raïls, pero solament una raïl real, ya que solament hi ha un vector propi, l'eix de rotació. Les atres raïls deuen ser un parell conjugat complex. Tenen magnitut unitat, tractant-se de logaritmos imaginaris purs, iguals a la magnitut del bivector associat en la rotació, que també és l'àngul de rotació. Els vectores propis associats en els valors propis complexos estan en el pla del bivector, per lo que el producte exterior de dos vectores propis no paralels dona com resultat el bivector, o a lo manco un múltiple d'ell.

Vectores axials

Archiu:Angular momentum bivector and pseudovector.svg

El moment 3-angular és un bivector (element pla) i un vector axial, d'una partícula de massa m en 3-posició instantànea x i 3-moment p

El vector de rotació és un eixemple d'un vector axial. Els vectores axials, o pseudovectores, són vectores en la característica especial de que les seues coordenades experimenten un canvi de signe en relació en els vectores habituals (també cridats vectores polars) que s'invertixen a través de l'orige, la reflexió en un pla o una atra transformació llineal en inversió d'orientació.^[12] Els eixemples inclouen magnituts com el parell motor, el moment angular i el vector del camp magnètic. Les cantitats que utilisen vectores axials en l'àlgebra vectorial estan representades adequadament per bivectores en l'àlgebra geomètrica.^[13] Més precisament, si s'elegix una orientació subjacent, els vectores axials s'identifiquen naturalment en els vectores habituals. El dual de Hodge proporciona un isomorfisme entre els vectores axials i els bivectores, per lo que cada vector axial està associat en un bivector i viceversa; és dir:

𝐀 = * 𝐚, 𝐚 = * 𝐀

a on ∗ indica el dual de Hodge. Tinga en conte que si l'orientació subjacent s'invertix per inversió a través de l'orige, tant l'identificació dels vectores axials en els vectores habituals com el signe de canvi dual de Hodge, pero els bivectores no es mouen. Alternativament, usant el pseudoscalar unitat en Cℓ₃ (ℝ), i=i₁, i₂, i₃ dona

𝐀 = 𝐚 i, 𝐚 = - 𝐀 i .

Esta forma és més fàcil d'usar, ya que el producte és solament el producte geomètric. Pero és antisimètric perque (com en dos dimensions) l'unitat pseudoscalar i s'ajusta a −1, per lo que es necessita introduir un valor negatiu en un dels productes.

Esta relació s'estén a operacions com el vector producte vectorial en valor vectorial i el producte exterior en valor de bivector, ya que quan s'escriuen com determinants es calculen de la mateixa manera:

𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐞_{1} & 𝐞_{2} & 𝐞_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} |, 𝐚 \land 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐞_{23} & 𝐞_{31} & 𝐞_{12} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} |,

Aixina estan relacionats pel dual de Hodge:

* (𝐚 \land 𝐛) = 𝐚 \times 𝐛, * (𝐚 \times 𝐛) = 𝐚 \land 𝐛 .

Els bivectores tenen una série de ventages sobre els vectores axials. Es diferencien millor els vectores axials i polars, és dir, les cantitats representades per ells, per lo que és més clar quines operacions estan permeses i quins són els seus resultats. Per eixemple, el producte intern d'un vector polar i un vector axial que resulta del producte creuat en el producte mixt deu donar com resultat un pseudoscalar, un resultat que és més obvi si el càlcul s'emmarca com el producte exterior d'un vector i un bivector. Es generalisen a atres dimensions; en particular, els bivectores es poden usar per a descriure cantitats com el parell i el moment angular en dos i en tres dimensions. Ademés, coincidixen estretament en l'intuïció geomètrica de vàries maneres, com es veu en la següent secció.^[14]

Interpretació geomètrica

Com sugerixen el seu nom i el de l'àlgebra, un dels atractius dels bivectores és que tenen una interpretació geomètrica natural. Açò es pot descriure en qualsevol dimensió, pero és millor fer-ho en tres, a on es poden establir paralelismes en objectes més familiars, abans d'aplicar-los a dimensions més altes. En dos dimensions, l'interpretació geomètrica és trivial, ya que l'espai és bidimensional, per lo que té solament un pla, i tots els bivectores estan associats en ell, diferenciant-se solament per un factor d'escala.

Tots els bivectores poden interpretar-se com plans, o més precisament com a sectors plans orientats. En tres dimensions hi ha tres propietats d'un bivector que poden ser interpretades geomètricament:

La disposició del pla en l'espai, precisament la disposició del pla (o alternativament, el seu rotació, orientació geomètrica o gradient del pla), s'associa en la relació dels components del bivector. En particular, els tres bivectores bàsics, i₂₃,i₃₁ i i₁₂, o múltiples escalares d'ells, estan associats en el pla yz, el pla xz i el pla xy respectivament.
La magnitut del bivector està associat en l'àrea del sector pla. L'àrea no té una forma particular, per lo que es pot utilisar qualsevol forma. Inclús es pot representar d'atres maneres, com per eixemple una mida angular. Pero si els vectores s'interpreten com a llongituts, el bivector generalment s'interpreta com un àrea en les mateixes unitats, de la manera següent:
De la mateixa manera que la direcció d'un vector, un pla associat en un bivector té una direcció, una circulació o un sentit de rotació en el pla, que pren dos valors (positiu o negatiu) en relació en el sentit del rellonge quan s'observa des d'un punt de vista no contingut en el pla. Açò s'associa en un canvi de signe en el bivector, és dir, si s'invertix la direcció, canvia el signe del bivector. Alternativament, si dos bivectores tenen la mateixa disposició i magnitut pero direccions opostes, un és el negatiu de l'atre.
Si s'imagina com un paralelogramo 2d, en l'orige del vector en 0, l'àrea (en el seu signe) és el determinant de les coordenades cartesianas dels vectores ( $a_{x} b_{y} - b_{x} a_{y}$ ).^[15]

Archiu:Exterior calc cross product.svg

El producte creuat a × b és ortogonal al bivector a ∧ b

En tres dimensions, tots els bivectores poden ser generats pel producte exterior de dos vectores. Si el bivector B = a ∧ b, llavors la magnitut de B és

| 𝐁 | = | 𝐚 | | 𝐛 | \sin θ,

a on θ és l'àngul entre els vectores. Esta és l'àrea del paralelogramo en costats a i b, com es mostra en el diagrama. Una interpretació és que l'àrea és agranada per b a mida que alvança a. El producte exterior és antisimètric, per lo que invertir l'orde de a i b per a fer que a es moga en b resulta en un bivector en el Direcció oposta que és la negativa de la primera. El pla del bivector a ∧ b conté tant a a com a b, per lo que abdós són paralels al pla.

Els bivectores i vectores axials estan relacionats per la dualitat de Hodge. En un espai vectorial real, el dual de Hodge relaciona un subespacio en el seu complement ortogonal, per lo que si un bivector està representat per un pla, el vector axial associat en ell és simplement el vector normal del pla. El pla té dos normals, una en cada costat, que determinen les dos orientacions relatives possibles entre el pla i el bivector.

Archiu:Torque animation.gif

Relació entre força F, torsor τ, cantitat de moviment p i moment angular L

Este fet relaciona el producte vectorial en el producte exterior. També es pot utilisar per a representar cantitats físiques, com parell motor i moment angular. En l'àlgebra vectorial, generalment es representen per mig de vectores, perpendicular al pla en el que es definixen la força, la cantitat de moviment o el desplaçament. Pero si s'usa un bivector en el seu lloc, el pla és el pla del bivector, per lo que és una forma més natural de representar les cantitats i la forma en que actuen. A diferència de la representació vectorial, també es generalisa en atres dimensions.

El producte de dos bivectores té una interpretació geomètrica. Per als bivectores que no siguen zero A i B, el producte es pot dividir en parts simètriques i antisimètriques de la següent manera:

𝐀 𝐁 = 𝐀 \cdot 𝐁 + 𝐀 \times 𝐁 .

De la mateixa manera que els vectores, estos tenen magnituts Plantilla:Absf = Plantilla:Absf Plantilla:Absf cos θ i Plantilla:Absf = Plantilla:Absf Plantilla:Absf sense θ, a on θ és l'àngul entre els plans. En tres dimensions és el mateix que l'àngul entre els vectores normals duals als plans, i es generalisa en certa mida en dimensions més altes.

Archiu:Bivector Sum.svg

Dos bivectores, coincidentes en dos de les cares no paraleles d'un prisma, sent sumades per a generar un tercer bivector^[7]

Els bivectores es poden sumar com a àrees. Daus dos bivectores que no són zero B i C en tres dimensions, sempre és possible trobar un vector a que estiga contingut en abdós, per lo que els bivectores es poden definir com a productes exteriors que impliquen a a:

\begin{matrix} 𝐁 & = 𝐚 \land 𝐛 \\ 𝐂 & = 𝐚 \land 𝐜 \end{matrix}

Açò es pot interpretar geomètricament com es veu en el diagrama: les dos àrees se sumen per a donar una tercera, en les tres àrees formant les cares d'un prisma en a, b, c i b + c com a arestes. Açò correspon a les dos formes de calcular l'àrea utilisant la distributividad del producte exterior:

\begin{matrix} 𝐁 + 𝐂 & = 𝐚 \land 𝐛 + 𝐚 \land 𝐜 \\ = 𝐚 \land (𝐛 + 𝐜) . \end{matrix}

Esta propietat solament es verifica en tres dimensions, ya que és l'única dimensió a on deu existir un vector paralel a abdós bivectores. En dimensions més altes, els bivectores generalment no estan associats en un sol pla, o si ho són (bivectores simples), és possible que dos bivectores no tinguen un vector en comú, per lo que se sumen en un bivector no simple.

Quatre dimensions

En quatre dimensions, els elements bàsics de l'espai Λ²ℝ⁴ dels bivectores són (i₁₂, i₁₃, i₁₄, i₂₃, i₂₄, i₃₄), per lo que un bivector general és de la forma

𝐀 = a_{12} 𝐞_{12} + a_{13} 𝐞_{13} + a_{14} 𝐞_{14} + a_{23} 𝐞_{23} + a_{24} 𝐞_{24} + a_{34} 𝐞_{34} .

Ortogonalidad

En quatre dimensions, el dual de Hodge d'un bivector és un atre bivector, i l'espai Λ²ℝ⁴ és dual a sí mateixa. Els vectores normals no són únics, pero en canvi, cada pla és ortogonal a tots els vectores en el seu espai dual de Hodge, lo que es pot usar per a dividir els bivectores en dos mitats de la següent manera: siguen tres parells de bivectores ortogonals: (i₁₂, i₃₄), (i₁₃, i₂₄) i (i₁₄, i₂₃). Hi ha quatre formes distintes d'elegir un bivector de cada u dels dos primers parells, i una volta que se seleccionen estos dos primers, la seua suma produïx el tercer bivector de l'atre parell. Per eixemple, (i₁₂, i₁₃, i₁₄) i (i₂₃, i₂₄ , i₃₄).

Bivectores simples en 4D

En quatre dimensions, els bivectores són generats pel producte exterior dels vectores en ℝ⁴, pero en una diferència important sobre ℝ³ i a ℝ², ya que en quatre dimensions no tots els bivectores són simples. Per eixemple, hi ha bivectores com i₁₂ + i₃₄ que no poden ser generats pel producte exterior de dos vectores. Açò també significa que no tenen un quadrat real, és dir, escalar. En este cas

(𝐞_{12} + 𝐞_{34})^{2} = 𝐞_{12} 𝐞_{12} + 𝐞_{12} 𝐞_{34} + 𝐞_{34} 𝐞_{12} + 𝐞_{34} 𝐞_{34} = - 2 + 2 𝐞_{1234} .

L'element i₁₂₃₄ és el pseudoscalar en Cℓ₄ (distint d'un escalar pròpiament dit), per lo que el quadrat no és escalar.

Tots els bivectores en quatre dimensions es poden generar utilisant com a màxim dos productes exteriors i quatre vectores. El bivector anterior es pot escriure com

𝐞_{12} + 𝐞_{34} = 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} + 𝐞_{3} \land 𝐞_{4} .

De manera similar, cada bivector es pot escriure com la suma de dos bivectores simples. És útil elegir dos bivectores ortogonals per a açò, i sempre és possible fer-ho. Ademés, per a un bivector genèric, l'elecció dels bivectores simples és única, és dir, solament hi ha una forma de descomposició en bivectores ortogonals; l'única excepció és quan els dos bivectores ortogonals tenen magnituts iguals (com en l'eixemple anterior): en este cas, la descomposició no és única.^[2] La descomposició és sempre única en el cas dels bivectores simples, en la ventaja afegida de que una de les parts ortogonals és zero.

Rotacions en ℝ⁴

Com en tres dimensions, els bivectores en quatre dimensions generen rotacions a través de l'aplicació exponencial, i totes les rotacions es poden generar d'esta manera. Com en tres dimensions, si B és un bivector, el rotor R és i^B/2 i les rotacions es generen de la mateixa manera:

v^{'} = R v R^{- 1} .

Archiu:Tesseract.gif

Proyecció 3D d'un teseracto somés a una rotació isoclinica

No obstant, les rotacions generades són més complexes. Es poden categorizar de la següent manera:

Les rotacions simples són aquelles que fixen un pla en 4D i giren en un àngul sobre este pla.

Les rotacions dobles tenen solament un punt fix, l'orige, i giren en dos ànguls al voltant de dos plans ortogonals. En general, els ànguls són diferents i els plans estan especificats explícitament.

Les rotacions isoclínicas són rotacions dobles a on els ànguls de rotació són iguals. En este cas, els plans sobre els que es porta a terme la rotació no són únics.

Estes rotacions són generades per bivectores d'una manera directa. Les rotacions simples es generen per mig de bivectores simples, en el pla fix dual o ortogonal al pla del bivector. Es pot dir que la rotació té lloc al voltant d'eixe pla, en el pla del bivector. Tots els atres bivectores generen rotacions dobles, en els dos ànguls de rotació igualant les magnituts dels dos bivectores simples dels que es compon el bivector no simple. Les rotacions isoclínicas sorgixen quan estes magnituts són iguals, en el cas de les quals la descomposició en dos bivectores simples no és única.^[16]

Els bivectores en general no commuten, pero una excepció són els bivectores ortogonals i els seus exponencials. Llavors, si el bivector B = B₁ + B₂, a on B₁ i B₂ són bivectores ortogonals simples, es pot utilisar per a generar una rotació que es descompon en dos rotacions simples que commuten de la següent manera:

R = e^{\frac{𝐁_{1} + 𝐁_{2}}{2}} = e^{\frac{𝐁_{1}}{2}} e^{\frac{𝐁_{2}}{2}} = e^{\frac{𝐁_{2}}{2}} e^{\frac{𝐁_{1}}{2}}

lo que sempre és possible, ya que tots els bivectores es poden expressar com sumixques de bivectores ortogonals.

Rotacions en l'espai-temps

l'espai-temps és un model matemàtic de l'univers utilisat en la relativitat especial. Contempla les tres dimensions del espai i una dimensió temporal, combinades en un sol espai de quatre dimensions. Es descriu naturalment utilisant l'àlgebra geomètrica i els bivectores, en la distància euclidiana reemplaçada pel espai-temps de Minkowski. Esta àlgebra és idèntica a la de l'espai euclídeo, excepto que es canvia la signatura, per lo que

{𝐞_{i}}^{2} = {\begin{matrix} 1, & i = 1, 2, 3 \\ - 1, & i = 4 \end{matrix}

(tinga's en conte que l'orde i els índexs anteriors no són universals, ací i₄ és la dimensió temporal). L'àlgebra geomètrica és Cℓ_3,1(ℝ), i el subespacio dels bivectores és Λ²ℝ^3,1.

Els bivectores simples són de dos tipos. Els bivectores simples i₂₃, i₃₁ i i₁₂ tenen quadrats negatius i comprenen els bivectores del subespacio tridimensional corresponent a l'espai euclidiano, ℝ³. Estos bivectores generen rotacions ordinàries en ℝ³.

Els bivectores simples i₁₄, i₂₄ i i₃₄ tenen quadrats positius i, com a plans, comprenen una dimensió espacial i la dimensió temporal. Estos també generen rotacions a través de l'aplicació exponencial, pero en lloc de funcions trigonométricas, es necessiten funcions hiperbòliques, que generen un rotor de la següent manera:

e^{\frac{𝜴 θ}{2}} = \cosh (\frac{θ}{2}) + 𝜴 \sinh (\frac{θ}{2}),

a on Ω és el bivector (i₁₄, etc.), identificat a través de la mètrica en una transformació llineal antisimètrica de ℝ^3,1. Estos són els impulsos de Lorentz, expressats d'una manera particularment compacta, utilisant el mateix tipo d'àlgebra que en ℝ³ i ℝ⁴.

En general, totes les rotacions de l'espai-temps es generen des dels bivectores a través de l'aplicació exponencial, és dir, un rotor general generat pel bivector A té la forma

R = e^{\frac{𝐀}{2}} .

El conjunt de totes les rotacions en l'espai-temps forma el grup de Lorentz, i d'elles es poden deduir la majoria de les conseqüències de la relativitat especial. De manera més general, es demostra cóm es poden descriure les transformacions en l'espai euclidiano i l'espai-temps utilisant el mateix tipo d'àlgebra.

Equacions de Maxwell

(Nota: en esta secció, els 3 vectores tradicionals s'indiquen per mig de llínees sobre els símbols, i el vector de l'espai-temps i els bivectores en símbols en negreta, en els vectores J i A excepcionalment en mayúscules)

Les equacions de Maxwell s'utilisen en física per a descriure la relació entre els camps elèctric i magnètic. Normalment donats com quatre equacions diferencials, tenen una forma especialment compactar quan els camps s'expressen com un bivector d'espai-temps de Λ²ℝ^3,1. Si els camps elèctric i magnètic en ℝ³ són Plantilla:Overline i Plantilla:Overline, llavors el bivector electromagnètic és

𝐅 = \frac{1}{c} \overline{E} 𝐞_{4} + \overline{B} 𝐞_{123},

a on i₄ és novament el vector base per a la dimensió temporal i c és la velocitat de la llum. El producte Plantilla:Overline i₁₂₃ produïx el bivector que és dual de Hodge per a Plantilla:Overline en tres dimensions, com discussed above, mentres que Plantilla:Overline i₄ com a producte de vectores ortogonals també té un valor de bivector. En general, és el tensor de camp electromagnètic expressat de forma més compacta com un bivector, i s'utilisa de la següent manera. Primer es relaciona en la cuadricorriente J, una cantitat vectorial donada per

𝐉 = \overline{j} + c ρ 𝐞_{4},

a on Plantilla:Overline és la densitat de corrent i ρ és la càrrega elèctrica. Estan relacionats per un operador diferencial ∂, que és

\partial = \nabla - 𝐞_{4} \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} .

L'operador ∇ és un operador diferencial en àlgebra geomètrica, actuant sobre les dimensions de l'espai i dau per ∇M = ∇·M + ∇∧M. Quan s'aplica als vectores ∇ · M és la divergència i ∇∧ M és el rotacional pero en un bivector en lloc d'un vector, açò és dual en tres dimensions al rotacional. Per a la cantitat general M, actuen com a reductors de grau i elevant operadors diferencials. En particular, si M és un escalar, llavors este operador és solament el gradient, i pot considerar-se com un operador nabla algebraic geomètric.

Junts, poden usar-se per a donar una forma particularment compactar a les equacions de Maxwell en el buit:

\partial 𝐅 = 𝐉 .

Quan es descompon d'acort en l'àlgebra geomètrica, l'us de productes geomètrics que tenen efectes d'aument de grau i de disminució de grau, és equivalent a les quatre equacions de Maxwell. Esta és la seua forma en el buit, pero la forma general és solament una miqueta més complexa. També està relacionada en el quatre-potencial electromagnètic, un vector A dau per

𝐀 = \overline{A} + \frac{1}{c} V 𝐞_{4},

a on Plantilla:Overline és el potencial magnètic vectorial i V és el potencial elèctric. Es relaciona en el bivector electromagnètic de la següent manera

\partial 𝐀 = - 𝐅,

utilisant el mateix operador diferencial ∂.^[17]

Dimensions superiors

Com s'ha sugerit en seccions anteriors, gran part de l'àlgebra geomètrica es generalisa be en dimensions més altes. L'àlgebra geomètrica per a l'espai real ℝⁿ és Cℓ_n (ℝ), i el subespacio dels bivectores és Λ²ℝⁿ.

El número de bivectores simples necessaris per a formar un bivector general aumenta en la dimensió, per lo que per a n impar és (n−1)/2 i per a n parell és n/2. Per lo tant, per a les quatre i cinc dimensions solament es necessiten dos bivectores simples, pero es requerixen tres per a la sexta i la sèptima dimensions. Per eixemple, en sis dimensions en base estàndar (i ₁, i₂, i₃, i₄, i₅,i₆) el bivector

𝐞_{12} + 𝐞_{34} + 𝐞_{56}

és la suma de tres bivectores simples, pero no menys. Com en quatre dimensions, sempre és possible trobar bivectores ortogonals simples per a esta suma.

Rotacions en dimensions superiors

Com els rotors de tres i quatre dimensions són generats per l'aplicació exponencial, aixina

e^{\frac{𝐁}{2}}

és el rotor generat pel bivector B. Les rotacions simples, que tenen lloc en un pla de rotació al voltant d'una full fixa de dimensió (n − 2), són generades per bivectores simples, mentres que atres bivectores generen rotacions més complexes que poden descriure's a la seua volta en térmens de sumes de bivectores simples, cada una relacionada en un pla de rotació. Tots els bivectores es poden expressar com la suma de bivectores ortogonals i conmutativos simples, per lo que les rotacions sempre es poden descompondre en un conjunt de rotacions conmutativas sobre els plans associats en estos bivectores. El grup de rotors en n dimensions forma el grup espinorial, Espin(n).

Una característica notable, relacionada en el número de bivectores simples i, per lo tant, dels plans de rotació, és que en les dimensions impars, cada rotació té un eix fix; és enganyós cridar-ho un eix de rotació, ya que en les dimensions més altes les rotacions tenen lloc en múltiples plans ortogonals, lo que es relaciona en els bivectores, ya que els bivectores en dimensions impars es descomponen en el mateix número de bivectores que la dimensió parell per davall, per lo que tenen el mateix número de plans, pero una dimensió adicional. Com cada pla genera rotacions en dos dimensions en dimensions impars, deu haver una dimensió, és dir, un eix invariante, que no s'està rotando.^[18]

Els bivectores també estan relacionats en les matrius de rotació en n dimensions. Com en tres dimensions, el polinomi característic d'una matriu es pot resoldre per a trobar les seues valors propis. En dimensions impars, presenta a lo manco una raïl real (sent el autovector l'eix fix de rotació), i en dimensions pares no té raïls reals, per lo que totes o totes menys una de les raïls són parells complexos conjugats. Cada parell està associat en un component simple del bivector associat en la rotació. En particular, el registre de cada parell és ± la magnitut, mentres que els vectores propis generats a partir de les raïls són paralels i, per lo tant, es poden usar per a generar el bivector. En general, els valors propis i els bivectores són únics, i el conjunt de valors propis proporciona la descomposició completa en bivectores simples; si les raïls es repetixen, la descomposició del bivector en bivectores simples no és única.

Geometria proyectiva

L'àlgebra geomètrica es pot aplicar a la geometria proyectiva d'una manera directa. L'àlgebra geomètrica utilisada és Cℓ_n(ℝ), n ≥ 3, l'àlgebra de l'espai vectorial real ℝⁿ, que s'utilisa per a descriure objectes en l'espai proyectivo real ℝℙ^{n − 1}. Els vectores que no són zero en Cℓ_n(ℝ) o ℝⁿ estan associats en punts en l'espai proyectivo, per lo que els vectores que es diferencien solament per un factor d'escala, el seu producte exterior és zero i s'assignen al mateix punt. Els bivectores simples que no són zero en Λ²ℝⁿ representen llínees en ℝℙ^{n − 1}, en bivectores que diferixen solament per un factor d'escala (positiu o negatiu) que representa la mateixa recta.

Una descripció de la geometria proyectiva es pot construir en l'àlgebra geomètrica usant operacions bàsiques. Per eixemple, daus dos punts distints en ℝℙⁿ⁻¹ representats pels vectores a i b, la recta entre ells està donada per a ∧ b (o b ∧ a). Dos rectes es intersecan en un punt si A ∧ B = 0 per a les seues bivectores A i B. Este punt està donat pel vector

𝐩 = 𝐀 \lor 𝐁 = (𝐀 \times 𝐁) J^{- 1} .

L'operació "⋁" és la confluència, que es pot definir com anteriorment en térmens de l'unió, J = A ∧ B per a A ∧ B no zero. Usant estes operacions, la geometria proyectiva es pot formular en térmens d'àlgebra geomètrica. Per eixemple, donat un tercer bivector C (distint de zero), el punt p es troba en la recta donada per C si i solament si

𝐩 \land 𝐂 = 0.

Aixina que la condició per a les rectes donades per A, B i C siguen colineales és que

(𝐀 \lor 𝐁) \land 𝐂 = 0,

lo que en Cℓ₃(ℝ) i ℝℙ² se simplifica a

⟨ 𝐀 𝐁 𝐂 ⟩ = 0,

a on els corchetes d'àngul denoten la part escalar del producte geomètric. De la mateixa manera, totes les operacions de l'espai proyectivo es poden escriure en térmens d'àlgebra geomètrica, en els bivectores que representen rectes generals en l'espai proyectivo, per lo que tota la geometria es pot desenrollar utilisant l'àlgebra geomètrica.^[9]

Tensors i matrius

Com ya s'ha vist, un bivector es pot escriure com una matriu antisimètrica, que a través de l'aplicació exponencial genera una matriu de rotació que descriu la mateixa rotació que el rotor, també generat per l'aplicació exponencial pero aplicada al vector. Pero també s'utilisa en atres bivectores, com el de la velocitat angular i el tensor de camp electromagnètic, respectivament una matriu o un tensor antisimètrics de 3 × 3 i de 4 × 4.

Els bivectores reals en Λ²ℝⁿ són isomorfos a matrius antisimètriques d'orde nxn, o alternativament, a tensors antisimètrics d'orde 2 en ℝⁿ. Si ben els bivectores són isomorfos als vectores (a través del dual) en tres dimensions, poden representar-se per mig de matrius antisimètriques en qualsevol dimensió. Açò és útil per a relacionar els bivectores en els problemes descrits per les matrius, per lo que es poden tornar a plantejar en térmens de bivectores, donada una interpretació geomètrica, i després a sovint es resolen més fàcilment o es relacionen geomètricament en atres problemes bivectoriales.^[19]

Més generalment, cada àlgebra geomètrica real és isomòrfica a un àlgebra matricial. Esta última conté als bivectores com un subespacio, encara que a sovint d'una manera que no és especialment útil. Estes matrius són d'interés principalment com una forma de classificar les àlgebra de Clifford.^[20]

Referències

↑ (2009) Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry, 2nd edició, Morgan Kaufmann, p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. «El bivector algebraic no és específic en forma; geomètricament és una cantitat d'àrea orientada en un pla específic, això és tot.»
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Lounesto (2001) p. 87
↑ David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fonamental Theories of Physics, 2nd edició, Springer, p. 21. ISBN 978-0-7923-5302-7.
↑ Lounesto (2001) p. 33
↑ A discussion of quaternions from these years is
↑ David Hestenes. op. cit, p. 61. ISBN 978-0-7923-5302-7.
↑ ^7,0 ^7,1 Lounesto (2001) p. 35
↑ Lounesto (2001) p. 86
↑ ^9,0 ^9,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada HestenesPG
↑ Lounesto (2001) p.29
↑ William I Baylis (1994). Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V, Birkhäuser, p. 234, see footnote. ISBN 978-0-8176-3715-6. «Els térmens vector axial i pseudovector són a sovint tractats com a sinònims, pero és prou útil distinguir (... el pseudovector) del seu dual (... el vector axial).»
↑ En térmens matemàtics estrictes, els vectores axials són un espai vectorial n-dimensional en l'estructura de grup habitual GL(n,R), pero en la representació no estàndar A → A det(A)/|det(A)|.
↑ (2003) Geometric algebra for physicists, Cambridge University Press, p. 56. ISBN 978-0-521-48022-2.
↑ Lounesto (2001) pp. 37–39
↑ WildLinAlg episode 4, Norman J Wildberger, Univ. of New South Wales, 2010, lecture via youtube
↑ Lounesto (2001) pp. 89–90
↑ Lounesto (2001) pp. 109–110
↑ Lounesto (2001) p.222
↑ Lounesto (2001) p. 193
↑ Lounesto (2001) p. 217

Este artícul conté una traducció derivada de «Bivector» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Dorst-1] (2009) Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry, 2nd edició, Morgan Kaufmann, p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. «El bivector algebraic no és específic en forma; geomètricament és una cantitat d'àrea orientada en un pla específic, això és tot.»

[Lounesto_2001_p._87-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Lounesto (2001) p. 87

[Hestenes-3] David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fonamental Theories of Physics, 2nd edició, Springer, p. 21. ISBN 978-0-7923-5302-7.

[4] Lounesto (2001) p. 33

[Brittanica-5] A discussion of quaternions from these years is

[Hestenes3-6] David Hestenes. op. cit, p. 61. ISBN 978-0-7923-5302-7.

[Lounesto_2001_p._35-7] 7,0 ^7,1 Lounesto (2001) p. 35

[8] Lounesto (2001) p. 86

[HestenesPG-9] 9,0 ^9,1 Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada HestenesPG

[10] Lounesto (2001) p.29

[Baylis-11] William I Baylis (1994). Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V, Birkhäuser, p. 234, see footnote. ISBN 978-0-8176-3715-6. «Els térmens vector axial i pseudovector són a sovint tractats com a sinònims, pero és prou útil distinguir (... el pseudovector) del seu dual (... el vector axial).»

[12] En térmens matemàtics estrictes, els vectores axials són un espai vectorial n-dimensional en l'estructura de grup habitual GL(n,R), pero en la representació no estàndar A → A det(A)/|det(A)|.

[Lasenby-13] (2003) Geometric algebra for physicists, Cambridge University Press, p. 56. ISBN 978-0-521-48022-2.

[14] Lounesto (2001) pp. 37–39

[15] WildLinAlg episode 4, Norman J Wildberger, Univ. of New South Wales, 2010, lecture via youtube

[16] Lounesto (2001) pp. 89–90

[17] Lounesto (2001) pp. 109–110

[18] Lounesto (2001) p.222

[19] Lounesto (2001) p. 193

[20] Lounesto (2001) p. 217

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]