Complement ortogonal

En els camp matemàtics del àlgebra llineal i del anàlisis funcional, el complement ortogonal d'un subespacio vectorial $F$ d'un espai vectorial $E$ sobre $ℝ$ dotat d'un producte escalar $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ és el conjunt $F^{\mathrm{\perp }}$ de tots els vectores de $E$ que són ortogonals a tot vector de $F$. És dir,

$F^{\mathrm{\perp }}=\{u\in E:⟨u,v⟩=0\mathrm{\forall }v\in F\}$

Proyecció ortogonal

D'esta última propietat obtenim que $\mathrm{\forall }u\in Eu=u_1+u_2$, en $u_1\in F,u_2\in F^{\mathrm{\perp }}$ de forma única, per lo que podem definir proyecció ortogonal de $u$ sobre $F$ com $u_1$ i escriurem que ${\pi }_F(u)=u_1$. Simétricament, podem definir la proyecció ortogonal de $u$ sobre $F^{\mathrm{\perp }}$ com $u_2$ i escriurem ${\pi }_{F^{\mathrm{\perp }}}(u)=u_2$.

Si definim l'aplicació ${\pi }_F:E\to F,u\mapsto {\pi }_F(u)$ tenim que:

Bibliografia

• (1992).«Algebra: An Approach via Module Theory».Springer-Verlag.136
• (1974).«Finite-dimensional vector spaces».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (1973).«Symmetric Bilinear Forms».Springer-Verlag.73