Notació axial-angular

Artícul principal → Grup de rotació SO(3).

En matemàtiques, la notació axial-angular d'una rotació parametriza una rotació en l'espai euclídeo tridimensional per mig de dos elements: un vector unitari $i$ que indica la direcció d'un eix de rotació, i un àngul $θ$ que descriu la magnitut de la rotació respecte a l'eix. Solament es necessiten dos números, no tres, per a definir la direcció d'un vector unitari $i$ ubicat en l'orige, perque $i$ té necessàriament mòdul 1, i expressades dos coordenades, es pot deduir la tercera (ya que $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , i per lo tant, $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ). També és possible utilisar els dos ànguls que definixen l'elevació i el azimut de $i$ , suficients per a ubicar-ho en qualsevol marc de coordenades cartesianas en particular.

D'acort en la fòrmula de rotació de Rodrigues, l'àngul i l'eix determinen una transformació que determina el gir de vectores tridimensionals. La rotació es produïx en el sentit prefixat per la regla de la mà dreta. L'eix de rotació a voltes es denomina eix de Euler.

És una de les moltes formalisació de la rotació en tres dimensions. La notació axial-angular es basa en el Teorema de rotació de Euler, que assegura que qualsevol rotació o seqüència de rotacions d'un cos rígit en un espai tridimensional és equivalent a una rotació pura sobre un sol eix fix.

Vector de rotació

La notació axial-angular és equivalent al més conciso vector de rotació, també cridat vector de Euler. En este cas, tant l'eix de rotació com l'àngul estan representats per un vector codireccional en l'eix de rotació el mòdul de la qual (llongitut) coincidix en l'àngul de rotació $θ$ ,

𝜽 = θ 𝐞 .

S'utilisa en les aplicacions exponencials i logarítmiques, que involucren este tipo de notació.

Deu tindre's en conte que distints vectores de rotació corresponen a la mateixa rotació. En particular, un vector de rotació de llongitut $θ + 2π M$ , per a qualsevol sancer $M$ , codifica exactament la mateixa rotació que un vector de rotació de llongitut $θ$ . Per lo tant, existix una infinitat numerable de vectores de rotació corresponents a una rotació qualsevol donada. Ademés, totes les rotacions de valor $2π M$ són iguals a una rotació nula, per lo que, per a un sancer $M$ dau, tots els vectores de rotació de llongitut $2π M$ , en totes les direccions, constituïxen una infinitat numerable de vectores de rotació de dos paràmetros, que codifiquen la mateixa rotació que el vector zero. Estos fets deuen tindre's en conte en invertir l'aplicació exponencial, és dir, en trobar un vector de rotació que corresponga a una matriu de rotació donada. En conseqüència, l'aplicació exponencial és sobreyectiva, no biyectiva.

Eixemple

Un observador està situat sobre el sol, i elegix la direcció $z$ negativa per a representar la direcció de la gravetat. Si gira 90° a l'esquerra, rotará $Plantilla:Sfrac$ radianes sobre l'eix $z$ . Veent la notació axial-angular com un parell ordenat, este gir queda representat per

(e j e, ángulo) = ([\begin{matrix} e_{x} \\ e_{y} \\ e_{z} \end{matrix}], θ) = ([\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}], \frac{π}{2}) .

L'eixemple anterior es pot representar com un vector de rotació en una magnitut de $Plantilla:Sfrac$ apuntant en la direcció $z$ ,

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{π}{2} \end{matrix}] .

Us

La notació axial-angular és convenient quan es tracta de mecànica del sòlit rígit. És útil tant per a caracterisar moviments de rotació, com per a abordar l'estudi del moviment del sòlit rígit per mig de transformacions homogénees i girs.

Quan un cos rígit gira al voltant d'un eix fix, les seues senyes axials-angulars són una constant i l'àngul de rotació depén contínuament del temps.

La conexió entre els tres valors propis 1 i $i \pm iθ$ i els seus tres eixos ortogonals associats en una representació cartesiana segons el teorema de Mercer, és una construcció convenient de l'expressió cartesiana de la matriu de rotació en tres dimensions.

Vore també

Coordenades homogénees

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Notación axial-angular» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.