Formalisació de la rotació en tres dimensions

Els ànguls de Euler com a rotacions en l'espai tridimensional

Artícul principal → Grup de rotació SO(3).

En geometria, existixen vàries formalisació per a expressar una rotació en tres dimensions com una transformació matemàtica. En física, este concepte s'aplica a la mecànica clàssica, a on la cinemàtica rotacional (o angular) és la ciència que descriu cuantitativamente un moviment purament rotatiu. l'orientació d'un objecte en un instant donat es descriu en les mateixes ferramentes, ya que es definix com una rotació imaginària a partir d'una ubicació de referència en l'espai, en lloc d'una rotació realment observada d'una ubicació anterior en l'espai.

D'acort en el teorema de rotació de Euler, la rotació d'un cos rígit (o sistema de coordenades tridimensional en l'orige fix) es descriu per mig d'una única rotació respecte a un determinat eix. Dita rotació es pot descriure de forma única per mig d'un mínim de tres paràmetros reals. No obstant, per vàries raons, hi ha vàries formes de representar-ho. Moltes d'estes notacions utilisen més del mínim necessari de tres paràmetros, encara que cada una d'elles té solament tres graus de llibertat.

Un eixemple a on s'usa la representació de les rotacions és en la visió artificial, a on un observador automàtic necessita rastrejar un objectiu. Si es considera un cos rígit, associat en tres vectores unitaris ortogonals fixats al seu cos (que representen els tres eixos del sistema de coordenades locals de l'objecte). El problema bàsic és especificar l'orientació d'estos tres vectores unitaris, i per lo tant del cos rígit, sobre el sistema de coordenades de l'observador, considerat com una ubicació de referència en l'espai.

Rotacions i moviments

Plantilla:Main article Les formalisació de la rotació se centren en els moviments propis (és dir, que preserven l'orientació) del espai euclídeo en un punt fix, als que es referix una rotació. Encara que els moviments físics en un punt fix són un cas important (com els descrits en el marc del centre de masses, o els moviments d'un parell cinemàtic), este enfocament permet descriure tots els moviments. Qualsevol moviment propi de l'espai euclídeo es descompon en una rotació al voltant de l'orige i en una translació. Qualsevol que siga l'orde del seu composició, el component de rotació pur no canviaria, determinat únicament pel moviment complet.

També es poden entendre les rotacions pures com aplicacions llineals en un espai vectorial dotat en una estructura euclídea, no com a aplicacions de punts d'un espai afí corresponent. En atres paraules, una formalisació de la rotació reflectix tan sol la part rotativa d'un moviment, que conté tres graus de llibertat, i ignora la part de translació, que conté atres tres.

Formalisació alternatives

Matriu de rotació

Artícul principal → Matriu de rotació.

La tríade de vectores unitaris mencionada anteriorment, també es denomina una base. L'especificació de les coordenades (components) dels vectores d'esta base en la seua posició actual (girada), en térmens dels eixos de coordenades de referència (no girats), descriurà completament la rotació. Els tres vectores unitaris, $\hat{𝐮}$ , $\hat{𝐯}$ i $\hat{𝐰}$ , que formen la base rotada consten de 3 coordenades, lo que dona un total de 9 paràmetros.

Estos paràmetros es poden escriure com els elements d'una matriu $A$ d'orde 3 × 3, cridada matriu de rotació. Per lo general, les coordenades de cada u d'estos vectores s'organisen en una columna de la matriu (no obstant, tinga's en conte que existix una definició alternativa de la matriu de rotació i s'usa àmpliament, a on les coordenades dels vectores definides anteriorment estan ordenades per files^[1])

𝐀 = [\begin{matrix} {\hat{𝐮}}_{x} & {\hat{𝐯}}_{x} & {\hat{𝐰}}_{x} \\ {\hat{𝐮}}_{y} & {\hat{𝐯}}_{y} & {\hat{𝐰}}_{y} \\ {\hat{𝐮}}_{z} & {\hat{𝐯}}_{z} & {\hat{𝐰}}_{z} \end{matrix}]

No tots els elements de la matriu de rotació són independents; com dicta la teorema de rotació de Euler, la matriu de rotació té solament tres graus de llibertat.

La matriu de rotació té les següents propietats:

$A$ és un matriu ortogonal real, per lo que cada una de les seues files o columnes representa un vector unitari.
Els valors propis de $A$ sò

{1, e^{\pm i θ}} = {1, \cos θ + i \sin θ, \cos θ - i \sin θ}

a on

i

és l'unitat imaginària estàndar en la propietat

i 2 = -1

El determinant de $A$ és +1, equivalent al producte dels seus valors propis.
La traça de $A$ és $1 + 2 cos θ$ , equivalent a la suma dels seus valors propis.

L'àngul $θ$ que apareix en l'expressió dels valors propis correspon a l'àngul de l'eix de Euler, i representa l'àngul girat. El vector propi corresponents al valor propi d'1 és l'eix de Euler que ho acompanya, ya que l'eix és l'únic vector (distint de zero) que permaneix sense canvis en multiplicar-ho (girant-ho) cap a l'esquerra en la matriu de rotació.

Les propietats anteriors són equivalents a:

\begin{matrix} | \hat{𝐮} | = | \hat{𝐯} | = | \hat{𝐰} | & = 1 \\ \hat{𝐮} \cdot \hat{𝐯} & = 0 \\ \hat{𝐮} \times \hat{𝐯} & = \hat{𝐰}, \end{matrix}

que és una atra forma d'indicar que $(\hat{𝐮}, \hat{𝐯}, \hat{𝐰})$ forma una base ortonormal en 3D. Estes declaracions comprenen un total de 6 condicions (el producte creuat conté 3), deixant la matriu de rotació en sol 3 graus de llibertat, segons es requerixca.

Dos rotacions successives representades per matrius $A 1$ i $A 2$ es combinen fàcilment com a elements d'un grup,

𝐀_{total} = 𝐀_{2} 𝐀_{1}

(tinga's en conte l'orde, ya que el vector que es gira es multiplica des de la dreta).

La facilitat en que es poden rotar els vectores utilisant una matriu de rotació, aixina com la facilitat de combinar rotacions successives, fan de la matriu de rotació una forma útil i popular de representar rotacions, encara que siga menys concisa que atres representacions.

Eix i àngul de Euler (vector de rotació)

Archiu:Euler AxisAngle.png

Visualisació d'una rotació representada per un eix i un àngul de Euler

Artícul principal → Notació axial-angular.

Pel teorema de rotació de Euler, se sap que qualsevol gir es pot expressar com una sola rotació sobre algun eix. L'eix és el vector unitari (únic si s'exceptua el seu signe) que permaneix sense canvis per efecte de la rotació. La magnitut de l'àngul també és única, i el seu signe està determinat pel signe de l'eix de rotació.

L'eix es pot representar com un vector unitari tridimensional

\hat{𝐞} = [\begin{matrix} e_{x} \\ e_{y} \\ e_{z} \end{matrix}]

i l'àngul per un escalar $θ$ .

Com l'eix està normalisat, solament té dos graus de llibertat. L'àngul agrega el tercer grau de llibertat a esta notació de la rotació.

Es pot expressar la rotació com un vector de rotació, o vector de Euler, un vector tridimensional no normalisat la direcció del qual especifica l'eix i la llongitut del qual és $θ$ ,

𝐫 = θ \hat{𝐞} .

El vector de rotació és útil en alguns contexts, ya que representa una rotació tridimensional en sol tres valors escalares (els seus components), que representen els tres graus de llibertat. Açò també és cert per a representacions basades en seqüències de tres ànguls de Euler (vore més alvance).

Si l'àngul de rotació $θ$ és zero, l'eix no està definit de forma única. La combinació de dos rotacions successives, cada una representada per un eix i un àngul de Euler, no és senzilla i, de fet, no satisfà la llei de l'adició de vectores, lo que mostra que les rotacions finitas no són realment vectores. És millor amprar la notació de la matriu de rotació o la del cuaternión, calcular el producte i després tornar a convertir-ho en l'eix i àngul de Euler.

Rotacions de Euler

Archiu:Praezession.svg

Rotacions de Euler de la Terra. Intrínseca (verda), precesión (blau) i nutación (roig)

Artícul principal → Rotacions de Euler.

L'idea darrere de les rotacions de Euler és dividir la rotació completa del sistema de coordenades en tres rotacions constitutives més simples, cridades precesión, nutación i rotació intrínseca, sent cada una d'elles un increment en un dels ànguls de Euler. Observe's que la matriu externa representarà una rotació al voltant d'un dels eixos del marc de referència, i la matriu interna representa una rotació al voltant d'un dels eixos del marc en moviment. La matriu central representa una rotació al voltant d'un eix intermig cridat llínea de nodos.

No obstant, la definició dels ànguls de Euler no és única i en la bibliografia s'utilisen moltes convencions diferents. Estes convencions depenen dels eixos sobre els que es realisen les rotacions i de la seua seqüència (ya que les rotacions no són conmutativas).

La convenció que s'usa generalment s'indica especificant els eixos sobre els quals es realisen les rotacions consecutives (abans de ser compostes), referint-se a elles per mig de l'índex (1, 2, 3) o la lletra (X, I, Z). Les comunitats d'ingenieria i robòtica solen utilisar els ànguls de Euler 3-1-3. Observe's que despuix de compondre les rotacions independents, ya no giren al voltant del seu eix. La matriu més externa trencada les atres dos, deixant la segona matriu de rotació sobre la llínea de nodos i la tercera en un marc que es mou en el cos. Hi ha 3 × 3 × 3 = 27 possibles combinacions de tres rotacions bàsiques, pero solament 3 × 2 × 2 = 12 d'elles es poden usar per a representar rotacions 3D arbitràries com a ànguls de Euler. Estes 12 combinacions eviten rotacions consecutives al voltant del mateix eix (com XXY), lo que reduiria els graus de llibertat que es poden representar.

Per lo tant, els ànguls de Euler mai s'expressen en térmens del marc extern, o en térmens del marc del cos girat en moviment conjunt, sino en una mescla. S'utilisen atres convencions (per eixemple, la matriu de rotació o els cuaterniones) per a evitar este problema.

En aviació, l'orientació de l'aeronau generalment s'expressa per mig dels ànguls de Tait-Bryan intrínsecs, seguint la convenció $z - i'- x ″$ , que es denominen guiñada, cabotege i alabeo (o també curs, elevació i tonel).

Cuaterniones

Plantilla:Main article

Els cuaterniones, que formen un espai vectorial de quatre dimensions, han demostrat ser molt útils per a representar rotacions per vàries ventages sobre les atres notacions mencionades en este artícul.

La representació d'una rotació per mig d'un cuaternión s'escriu com un versor (cuaternión normalisat)

\hat{𝐪} = q_{i} 𝐢 + q_{j} 𝐣 + q_{k} 𝐤 + q_{r} = [\begin{matrix} q_{i} \\ q_{j} \\ q_{k} \\ q_{r} \end{matrix}]

La definició anterior almagasena el cuaternión com una matriu seguint la convenció utilisada en (Wertz 1980) i (Markley 2003). Una definició alternativa utilisada, per eixemple, en (Coutsias 1999) i (Schmidt 2001) definix el terme "escalar" com el primer element del cuaternión, en els atres elements desplaçats cap a avall una posició.

En térmens de l'eix de Euler,

\hat{𝐞} = [\begin{matrix} e_{x} \\ e_{y} \\ e_{z} \end{matrix}]

i de l'àngul $θ$ , els components d'este versor s'expressen de la següent manera:

\begin{matrix} q_{i} & = e_{x} \sin \frac{θ}{2} \\ q_{j} & = e_{y} \sin \frac{θ}{2} \\ q_{k} & = e_{z} \sin \frac{θ}{2} \\ q_{r} & = \cos \frac{θ}{2} \end{matrix}

L'anàlisis mostra que la parametrización utilisant cuaterniones obedix a la següent restricció:

q_{i}^{2} + q_{j}^{2} + q_{k}^{2} + q_{r}^{2} = 1

L'últim terme (en esta definició) a sovint es diu el terme escalar, que té el seu orige en els cuaterniones quan s'entenen com l'extensió matemàtica dels número complejo, escrit com

a + b i + c j + d k con {a, b, c, d} \in ℝ

i a on ${i, j, k}$ són els números hipercomplejos que satisfan

\begin{matrix} i^{2} & = & j^{2} & = & k^{2} & = & - 1 \\ i j & = & - j i & = & k \\ j k & = & - k j & = & i \\ k i & = & - i k & = & j \end{matrix}

La multiplicació de cuaterniones, que s'utilisa per a especificar una rotació composta, es realisa de la mateixa manera que la multiplicació de número complejo, excepto que l'orde dels elements deu tindre's en conte, ya que la multiplicació no és conmutativa. En notació matricial, es pot escriure la multiplicació de cuaterniones com

\tilde{𝐪} \otimes 𝐪 = [\begin{matrix} q_{r} & q_{k} & - q_{j} & q_{i} \\ - q_{k} & q_{r} & q_{i} & q_{j} \\ q_{j} & - q_{i} & q_{r} & q_{k} \\ - q_{i} & - q_{j} & - q_{k} & q_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\tilde{q}}_{i} \\ {\tilde{q}}_{j} \\ {\tilde{q}}_{k} \\ {\tilde{q}}_{r} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\tilde{q}}_{r} & - {\tilde{q}}_{k} & {\tilde{q}}_{j} & {\tilde{q}}_{i} \\ {\tilde{q}}_{k} & {\tilde{q}}_{r} & - {\tilde{q}}_{i} & {\tilde{q}}_{j} \\ - {\tilde{q}}_{j} & {\tilde{q}}_{i} & {\tilde{q}}_{r} & {\tilde{q}}_{k} \\ - {\tilde{q}}_{i} & - {\tilde{q}}_{j} & - {\tilde{q}}_{k} & {\tilde{q}}_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{i} \\ q_{j} \\ q_{k} \\ q_{r} \end{matrix}]

Per lo tant, combinar dos rotacions consecutives utilisant cuaterniones és tan simple com usar la matriu de rotació. Aixina com dos matrius de rotació successives, $A 1$ seguida de $A 2$ , es combinen com

𝐀_{3} = 𝐀_{2} 𝐀_{1}

,

es pot representar açò en paràmetros de cuaternión d'una manera similar i concisa:

𝐪_{3} = 𝐪_{2} \otimes 𝐪_{1}

Els cuaterniones són una parametrización molt popular, per les següents propietats:

Notació més compacta que la matricial i menys susceptible a errors de grosseig
Els cuaterniones varien de forma contínua sobre l'esfera unitària en $ℝ 4$ (indicat per $S 3$ ) a mida que canvia l'orientació, evitant els bots deguts a les discontinuidades (inherents a les parametrización tridimensionals)
L'expressió de la matriu de rotació en térmens de paràmetros de cuaternión no implica utilisar funcions trigonométricas
És simple combinar dos rotacions individuals representades com cuaterniones usant el producte de cuaterniones

De la mateixa manera que les matrius de rotació, els cuaterniones a voltes deuen renormalizarse per errors de grosseig, per a assegurar-se de que corresponguen a rotacions vàlides. El cost computacional de renormalizar un cuaternión, no obstant, és molt menor que el necessari per a normalisar una matriu d'orde 3 × 3.

Els cuaterniones també reflectixen el caràcter espinorial de les rotacions en tres dimensions. Per eixemple, per a un objecte tridimensional conectat al seu entorn (fix) per mig de cordes o bandes flexibles, de manera que les cordes o bandes poden desenrrollarse per complet despuix de dos regressos complets al voltant d'un eix fix des d'un estat inicial desenrrollado, algebraicamente, el cuaternión que descriu tal rotació canvia d'un valor escalar +1 (inicialment), a través de (escalar + pseudovector) en escalar −1 (en un gir complet), a través de valors (escalar + pseudovector) de tornada en escalar +1 (en dos regressos complets). Este cicle es repetix cada 2 regressos. Despuix de $2 n$ girs (número entero $n > 0$ ), sense cap desenrrollado intermig, les cuerdo/bandes es poden desenredar parcialment a l'estat dels girs $2(n - 1)$ en cada aplicació del mateix procediment utilisat per a desenredar de 2 girs a 0 girs. L'aplicació del mateix procediment $n$ voltes, tornarà un objecte $2 n$ enrollado a l'estat totalment desenrrollado (o a 0 regressos). El procés de desenrrollado també elimina qualsevol gir generat per la rotació en les cuerdo/bandes en sí. Es poden usar models mecànics simples en 3D per a demostrar estos fets.

Els paràmetros de Rodrigues i la representació de Gibbs

Artícul principal → Paràmetros de Euler-Rodrigues.

Vore també: Fòrmula de rotació de Rodrigues

Els paràmetros de Rodrigues^[2] es poden expressar en térmens de l'eix i de l'àngul de Euler de la següent manera,^[3]

𝐫 = \hat{𝐞} θ .

Esta transformació té una discontinuidad a 180° (Π radianes): cada vector $r$ en una norma de Π radianes, representa la mateixa rotació que $- r$ .

De la mateixa manera, la notació de Gibbs es pot expressar com

𝐠 = \hat{𝐞} \tan \frac{θ}{2}

Una rotació $g$ seguida d'una rotació $f$ en la representació de Gibbs té la forma simple

(𝐠, 𝐟) = \frac{𝐠 + 𝐟 - 𝐟 \times 𝐠}{1 - 𝐠 \cdot 𝐟} .

Hui en dia, la forma més senzilla de provar esta fòrmula és per mig de la notació del doblet (fidel), a on $g = n̂ tan a$ , etc.

Una atra forma de provar esta equació és usar cuaterniones. Construir un cuaternión associat en una rotació espacial R com,

S = \cos \frac{ϕ}{2} + \sin \frac{ϕ}{2} 𝐒 .

Llavors, la composició de la rotació R_B en R_A és la rotació R_C = R_BR_A en l'eix de rotació i l'àngul definits pel producte dels cuaterniones

A = \cos \frac{α}{2} + \sin \frac{α}{2} 𝐀 and B = \cos \frac{β}{2} + \sin \frac{β}{2} 𝐁,

és dir

C = \cos \frac{γ}{2} + \sin \frac{γ}{2} 𝐂 = (\cos \frac{β}{2} + \sin \frac{β}{2} 𝐁) (\cos \frac{α}{2} + \sin \frac{α}{2} 𝐀) .

Ampliant este producte de cuaterniones, s'obté

\cos \frac{γ}{2} + \sin \frac{γ}{2} 𝐂 = (\cos \frac{β}{2} \cos \frac{α}{2} - \sin \frac{β}{2} \sin \frac{α}{2} 𝐁 \cdot 𝐀) + (\sin \frac{β}{2} \cos \frac{α}{2} 𝐁 + \sin \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} 𝐀 + \sin \frac{β}{2} \sin \frac{α}{2} 𝐁 \times 𝐀) .

Dividint abdós costats d'esta equació per l'identitat,

\cos \frac{γ}{2} = \cos \frac{β}{2} \cos \frac{α}{2} - \sin \frac{β}{2} \sin \frac{α}{2} 𝐁 \cdot 𝐀,

i calculant

\tan \frac{γ}{2} 𝐂 = \frac{\tan \frac{β}{2} 𝐁 + \tan \frac{α}{2} 𝐀 + \tan \frac{β}{2} \tan \frac{α}{2} 𝐁 \times 𝐀}{1 - \tan \frac{β}{2} \tan \frac{α}{2} 𝐁 \cdot 𝐀} .

Esta és la fòrmula de Rodrigues per a l'eix d'una rotació composta definida en térmens dels eixos de dos rotacions successives. Va deduir esta fòrmula en 1840 (vore la pàgina 408).^[4]

Els tres eixos de rotació A, B i C formen un triàngul esfèric i els ànguls diedros entre els plans formats pels costats d'este triàngul estan definits per l'ànguls de rotació.

El vector de Gibbs té la ventaja (o la desventaja, segons el context) de que les rotacions de 180° no poden representar-se en ell. Inclús si s'utilisen números en menge flotant, capaços de manejar valors molt grans i molt menuts, la direcció de rotació no pot estar ben definida. Per eixemple, ingenuamente, una rotació de 180° sobre l'eix (1, 1, 0) seria (∞, ∞, 0), que és la mateixa rotació de 180° representada aproximadament per (1, 0.0001, 0).

Els paràmetros de Rodrigues modificats (PRM) es poden expressar en térmens d'eix i àngul de Euler per mig de

𝐩 = \hat{𝐞} \tan \frac{θ}{4} .

La parametrización de Rodrigues modificada compartix moltes característiques en la parametrización del vector de rotació, inclosa l'aparició de bots de discontinuidad en l'espai de paràmetros quan s'incrementa la rotació.

Paràmetros de Cayley-Klein

Artícul principal → Transformació de Cayley.

Consulte's la definició en Wolfram Mathworld.

Anàlecs de dimensions superiors

Vore també: Rotacions en l'espai euclídeo 4-dimensional

Referències

↑ Rotation Matrix en MathWorld.
↑ Per Olinde Rodrigues, en la seua obra "Dones lois géometriques qui regissent els déplacements d' un systéme solide dans l' espace, et de la variation dones coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant dones causes qui peuvent els produire", J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440
↑ cf. J Willard Gibbs (1884). Elements of Vector Analysis, New Haven, p. 67
↑ Rodrigues, O. (1840), Dones lois géométriques qui régissent els déplacements d’un système solide dans l’espace, et la variation dones coordonnées provenant de ses déplacements en- sidérés indépendamment dones causes qui peuvent els produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.

Este artícul conté una traducció derivada de «Formalización de la rotación en tres dimensiones» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Rotation Matrix en MathWorld.

[2] Per Olinde Rodrigues, en la seua obra "Dones lois géometriques qui regissent els déplacements d' un systéme solide dans l' espace, et de la variation dones coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant dones causes qui peuvent els produire", J. Math. Pures Appl. 5 (1840), 380–440

[3] . J Willard Gibbs (1884). Elements of Vector Analysis, New Haven, p. 67

[4] Rodrigues, O. (1840), Dones lois géométriques qui régissent els déplacements d’un système solide dans l’espace, et la variation dones coordonnées provenant de ses déplacements en- sidérés indépendamment dones causes qui peuvent els produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.

[1]

[2]

[3]

[4]