Commutador de dos operadors

Es definix el commutador de dos operadors llineals $\hat{A}$ i $\hat{B}$, definits sobre un mateix domini dens de cert espai de Hilbert, com un nou operador definit per la diferència del producte d'operadors:

Els commutadors tenen gran importància en la definició de les àlgebra de Lie i la mecànica quàntica, aixina com en el formalisme més actual de la geometria diferencial, ya que són l'image algebraica de les transformacions infinitesimals multiparamétricas en una varietat diferenciable. La clau d'açò és que són operadors que satisfan una mateixa relació algebraica que les derivades, que és una relació a tres variables coneguda com identitat de Jacobi.

Propietats

• Quan els operadors actuen sobre un espai de dimensió finita llavors la traça del commutador de dos operadors és nula.
• Si el commutador de dos operadors autoadjuntos és nul llavors existix una base de Hilbert formada per vectores propis d'abdós operadors. Esta propietat resulta de fonamental importància en mecànica quàntica a l'hora de construir un conjunt complet d'observables compatibles (CCOC).

Identitats

En teoria de grups $[x,y]:=x^{-1}{y}^{-1}xy.$ Les identitats dels commutadors són ferramentes molt importants en l'estudi de la teoria de grup,Plantilla:Harv. L'expressió $a^x$ denota $x^{-1}ax.$.

1. $x^y=x[x,y].$
2. $[y,x]=-[x,y].$
3. $[xy,z]=[x,z]y+x[y,z]$ i $[x,yz]=[x,y]z+y[x,z].$
4. $[x,y^{-1}]=[y,x{]}^{y^{-1}}$ i $[x^{-1},y]=[y,x{]}^{x^{-1}}.$
5. $[[x,y^{-1}],z{]}^y\cdot [[y,z^{-1}],x{]}^z\cdot [[z,x^{-1}],y{]}^x=1$ i $[[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1.$

Identitat 5 és també cridada identitat de Hall-Witt. Anàlec a l'identitat de Jacobi.

Vore també

• Conmutatividad
• Àlgebra de Lie
• Anticonmutador