Matriu de rotació

En àlgebra llineal, una matriu de rotació és la matriu que representa una rotació en l'espai euclídeo. Per eixemple, la matriu

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right]$

representa la rotació de θ graus del pla en sentit antihorario. En tres dimensions, les matrius de rotació representen les rotacions de manera concisa i s'usen freqüentment en geometria, física i informàtica.

Encara que en la majoria de les aplicacions es consideren rotacions en dos o tres dimensions, les matrius de rotació poden definir-se en espais de qualsevol dimensió. Algebraicament, una matriu de rotació és una matriu ortogonal de determinant un:

$R^T=R^{-1}\text{y}\det R=1.$

Les matrius de rotació són quadrades i en valors reals. No obstant, es poden definir sobre uns atres cossos. El conjunt de totes les matrius de rotació de dimensió n &claves; n forma un grup que es coneix com a grup de rotacions (o grup ortogonal especial).

En dos dimensions

Archiu:Counterclockwise rotation.png

Una rotació en sentit antihorario d'un vector en un àngul θ. El vector s'alinea inicialment en l'eix x.

En dos dimensions la matriu de rotació té la següent forma:

$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)$.

Per a rotar vectores columna, es multiplica per la matriu de la següent forma:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Aixina les coordenades $(x^{\prime },y^{\prime })$ del punt $(x,y)$ despuix de la rotació són:

$x^{\prime }=x\cos \theta -y\mathrm{sen}\theta$,

$y^{\prime }=x\mathrm{sen}\theta +y\cos \theta$.

La direcció del vector rotado és antihoraria si θ és positiva (per eixemple 90°), i té sentit horari si θ és negatiu (per eixemple -90°). Per lo tant la matriu de rotació horària és:

$R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \mathrm{sen}\theta \\ -\mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)$.

S'observa que el cas de dos dimensions és l'únic cas no trivial a on el grup de matrius de rotació és conmutativo, açò vol dir que no importa l'orde en que es realisen vàries rotacions.

En tres dimensions

Archiu:Clockwise rotation.png

Una rotació en el sentit de les manetes del rellonge.

Rotacions bàsiques

Les següents matrius de rotació realisen rotacions de vectores al voltant dels eixos x, i, o z, en l'espai de tres dimensions:

$\begin{array}{cc}{R}_x(\theta )& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ 0& \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right)\\ R_y(\theta )& =\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \mathrm{sen}\theta \\ 0& 1& 0\\ -\mathrm{sen}\theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)\\ R_z(\theta )& =\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta & 0\\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

Cada una d'estes tres rotacions bàsiques es realisa en sentit antihorario al voltant de l'eix, considerant un sistema de coordenades en la regla de la mà dreta.

Rotació entorn a un eix arbitrari

Si es té un eix arbitrari definit pel vector unitari $\overrightarrow{u}=(u_x,u_y,u_z)$, a on $u_x^2+u_y^2+u_z^2=1$, la matriu de rotació d'un àngul θ sobre l'eix definit pel vector o ve donada per:

$R=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta +u_x^2(1-\cos \theta )& u_x{u}_y(1-\cos \theta )-u_z\mathrm{sen}\theta & u_x{u}_z(1-\cos \theta )+u_y\mathrm{sen}\theta \\ u_y{u}_x(1-\cos \theta )+u_z\mathrm{sen}\theta & \cos \theta +u_y^2(1-\cos \theta )& u_y{u}_z(1-\cos \theta )-u_x\mathrm{sen}\theta \\ u_z{u}_x(1-\cos \theta )-u_y\mathrm{sen}\theta & u_z{u}_y(1-\cos \theta )+u_x\mathrm{sen}\theta & \cos \theta +u_z^2(1-\cos \theta )\end{array}\right).$

És fàcil verificar que les rotacions bàsiques definides prèviament poden obtindre's com a casos particulars d'esta última matriu. Per a majors detalls geomètrics remetre's a la fòrmula de rotació de Rodrigues, a on pot comprovar-se que s'aplega al mateix resultat obtingut.