Tensor de camp electromagnètic

En electrodinàmica clàssica i teoria de la relativitat, el tensor de Faraday o tensor de camp electromagnètic és un tensor 2-contravariante i antisimètric, les components del qual són les components de lo que en cada sistema de referència es reflectixen com a part elèctrica i part magnètica del camp:

Components del tensor

El cuadripotencial A du en els seus components l'informació dels potencials. Les seues coordenades són en un sistema coordenado Lorentz:

A on $\varphi$ i A sò el potencial elèctric i el potencial vector magnètic respectivament.

El cuadripotencial és una 1-forma, per a posar-ho en correspondència en un objecte de ranc 2 devem fer actuar la derivada exterior. Llavors podem escriure la relació geomètrica que relaciona el cuadripotencial en el tensor de camp electromagnètic:

Si utilisem un sistema coordenado de Lorentz podem escriure-ho en components de la següent forma:

$F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$

Si recordem cóm es relacionen els potencials en els camps I i B, podrem trobar les components del tensor camp electromagnètic:

Per tant, les components del tensor s'obtindran de la següent forma:

Igualment:

Per als índexs espacial-espacial, tenim que:

Propietats

1. El tensor és antisimètric: $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$
2. Demostració: $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }=-({\partial }^{\nu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\nu })=-F^{\nu \mu }$
3. Els térmens de la diagonal són nuls: $F^{\mu \mu }=0$
4. Demostració: $F^{\mu \mu }={\partial }^{\mu }{A}^{\mu }-{\partial }^{\mu }{A}^{\mu }=0$
5. Ya que F prové d'un potencial $F=dA$, es diu que és una 2-forma exacta. Segons en Lema de Poincaré tota forma exacta té derivada exterior nula: $dF=0$
   • Açò implica que en els sistemes coordenados Lorentz es complix: ${\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }+{\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }=0$
6. El tensor és invariante baix transformacions gauge del cuadripotencial.
7. En coordenades Lorentz, si triem un cuadripotencial distint a $A_{\mu }$, de la forma $A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\chi$, a on $\chi$ és una funció arbitrària, és immediat comprovar que: $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }+{\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\chi -{\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }\chi ={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$.
8. De forma més geomètrica, ya que $F=dA$, prenent un cuadripotencial $A+d\chi$, s'obté $F=d(A+d\chi )=dA$, ya que la derivada exterior complix $d^2=0$.

Vore també

• Camp electromagnètic
• Equacions de Maxwell
• Dual de Hodge (tensors duals)
• Relació antisimètrica en anglés
• Càlcul de Ricci en anglés
• Electrodinàmica
• Càlcul tensorial