Dual de Hodge

En matemàtiques, el operador estrela d'Hodge en l'espai vectorial V és un operador llineal en l'àlgebra exterior de V, intercanviant els subespacios de k-vectores i el de n−k-vectores a on n = dim V, per a 0 ≤ k ≤ n.

Definició

Informalment es definix "repartint-se la forma volum" ω, pensada com a n vectores estàndar de base multiplicats exteriormente de modo que:

Llevat signe, sempre que α és un producte exterior d'alguns vectores estàndar de base. Donada una medida sobre una varietat n dimensional expressable com una n-forma μ (no totes les mides són d'esta forma, per eixemple, la "funció" delta de Dirac), el dual de Hodge de la p-forma A es definix com la contracció $⟨\overline{\mu },𝐀⟩$ a on $\overline{\mu }$ és el n-vector dual. Vore convenció de signe.

Definició formal

Formalment en una varietat de riemanniana o pseudoriemanniana de dimensió n devem definir el dual de Hodge d'una p-forma $\beta$ com la (n-p)-forma $*\beta$ tal que:

en $⟨\alpha |\beta ⟩$ el producte escalar de les formes i

és la n-forma de volum, sent g el determinant del tensor mètric i ε = sgn(g). D'ací la relació:

en particular ε = 1 en una varietat de Riemann i ε=-1 en una varietat Lorentz-Minkowski $(n-1,1)$.

Usos en física

Espai euclídeo dotat de producte vectorial

Un eixemple comú de l'operador estrela és l'espai euclídeo tridimensional dotat de la mètrica ordinària. De fet, el producte vectorial no és una atra cosa que el dual de Hodge del producte exterior de dos formes diferencials construïdes a partir dels vectores. Formalment el producte vectorial resulta ser:

Per a explicar eixa construcció necessitem introduir l'isomorfisme entre vectores de l'espai tridimensional i 1-formes del mateix espai:

Ara convé notar que en tres dimensions el dual d'una 1-forma és una 2-forma antisimètrica, i el dual d'una 2-forma és una 1-forma. Això permet construir un atre isomorfisme entre 1-formes i 2-formes, precisament este isomorfisme és el dual de Hodge. Per a aclarir cóm funciona eixe isomorfisme, s'interpreten les 2-formes com a matrius antisimètriques de 3x3 del següent modo:

Podem vore que eixa matriu té solament tres components independents que poden ser interpretades com un vector donat per l'operador dual de Hodge:

És dir, en l'espai euclídeo tridimensional, hi ha una correspondència entre els vectores i les matrius antisimètriques 3x3. En repassar els passos:

1. Tot vector de l'espai euclídeo tridimensional en la mètrica ordinària pot ser interpretat de manera natural com una 1-forma de dit espai.
2. El producte de dos 1-formes és una 2-forma, que en l'espai euclídeo tridimensional pot fer-se correspondre en un vector, gràcies a l'isomorfisme associat a l'operador dual de Hodge.
3. El producte vectorial no és una atra cosa un vector axial dau pel dual de Hodge del producte exterior de les dos 1-formes associades naturalment als dos vectores dels que es partia.

• Ademés, per a tota 1-forma en ${ℝ}^3$ es complix que **α = α.
• Un atre punt interessant relacionat en la física és que tot vector axial és en realitat el dual de Hodge d'una matriu antisimètrica. De fet, quan es construïxen magnituts relativistes associades a les cantitats newtonianas, ya que l'espai de la teoria de la relativitat és cuatridimensional, l'isomorfisme entre 1-formes i 2-formes desapareix. Això implica que els vectores axials de la mecànica newtoniana deuen ser tractats com a part de tensors antisimètrics en la teoria de la relativitat.

Espai de Minkowski

Una atra aplicació fonamental de l'operador dual de Hodge en física apareix en l'espai de Minkowski de la teoria de la relativitat especial. Donada la dimensió n = 4 de l'espai de Minkoski i donada la mètrica, existix un isomorfisme fonamental entre:

• 0-formes i 4-formes
• 1-formes i 3-formes

• 2-formes i 2-formes (endomorfisme)

Ademés, resulta per a tota 2-forma la següent relació fonamental:

$**F=-F$

Eixa relació pot usar-se per a formular molt escuetamente les equacions de Maxwell del electromagnetisme, tenint en conte que el camp electromagnètic vénen dau per una 2-forma o tensor antisimètric, que en components cartesianas és:

$𝐅=\left[\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& B_z& -B_y\\ -E_y/c& -B_z& 0& B_x\\ -E_z/c& B_y& -B_x& 0\end{array}\right]*𝐅=\left[\begin{array}{cccc}0& B_x& B_y& B_z\\ -B_x& 0& E_z/c& -E_y/c\\ -B_y& -E_z/c& 0& E_x/c\\ -B_z& E_y/c& -E_x/c& 0\end{array}\right]$

Les equacions de Maxwell poden escriure's en térmens de la 2-forma del camp electromagnètic i operador dual de Hodge tan senzillament com (sistema cgs):

$d𝐅=0*d(*𝐅)=\frac{4\pi }{c}𝐉$

A on $𝐉$ és la 1-forma naturalment associada al cuadrivector densitat de corrent.

Vore també

• Williams Vallance Douglas Hodge

Referències

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-clave.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2. (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of senar-Riemannian differential geometry in chapter 0).