Cuadrivector

Diagrama 1. Apariència del espai-temps a lo llarc d'una llínea d'univers d'un observador accelerat.

La direcció vertical indica el temps, l'horisontal indica la distància espacial, la llínea punteada és la trayectòria de l'observador en l'espai-temps. El quarto inferior representa el conjunt de successos passats visibles a l'observador. Els punts poden representar qualsevol tipo de successos en l'espai-temps.

La pendent de la llínea d'univers o trayectòria de la vertical dona la velocitat relativa de l'observador.

Un cuadrivector és la representació matemàtica en forma de vector de quatre dimensions d'una magnitut vectorial en teoria de la relativitat.

Motivació

Els treballs de H. A. Lorentz, H. Poincaré, A. Einstein i H. Minkowski sobre l'electromagnetisme clàssic varen dur a l'idea de que no és possible definir un temps absolut que transcorre de manera idèntica per a tots els observadorés en independència del seu estat de moviment.

La no existència d'un temps absolut requeria que existira una mida de temps per a cada observador. Aixina, el conjunt d'events (punts de l'espai-temps) duyen de manera natural a definir vectores de quatre dimensions:

a on els quatre components anteriors representaven l'instant en que succeïa alguna cosa i les tres coordenades espacials a on ocorrien i c és simplement la velocitat de la llum (introduïda ací per conveniència, per a que totes les coordenades tinguen dimensions de llongitut). Els experiments mostraven que quan diversos observadors es posaven a medir les seues respectives coordenades per a l'event obtenien números diferents pero estos guardaven entre sí certa relació donades per unes equacions que més vesprada es varen cridar transformacions de Lorentz.

Eixes transformacions de Lorentz de fet en ser aplicades a les equacions de Maxwell i a la força electromagnètica que nota una partícula carregada, les deixaven invariantes en forma. És dir, diversos observadors medien coordenades espacials i temporals diferents, trobaven diferents mides per a l'intensitat de camp elèctric i magnètic, pero les equacions que relacionaven per a un mateix observador tenien la mateixa forma per a tots els observadors inerciales. Matemàticament eixes transformacions o relacions de Lorentz involucren els components de les magnituts vectorials i certes magnituts escalares. Un pas important va ser donat per Poincaré i Minkowski quan varen provar que les transformacions de Lorentz podien ser concebudes com a rotacions espai-temporals en un espai-temps de quatre dimensions.

Aixina, quan Albert Einstein va formular el seu teoria especial de la relativitat, va postular el principi de covariancia, segons el qual les equacions de la física tenien que tindre la mateixa forma per a tots els sistemes de referència inerciales, això afegit a que els components de certes magnituts es relacionaven d'acort en les transformacions de Lorentz duya a considerar vectorés i tensorés sobre un espai vectorial de quatre dimensions: tres dimensions espacials i una dimensió temporal.

Cuadrivectores en la teoria especial de la relativitat

L'espai-temps de la teoria de la relativitat o espai de Minkowski $(ℳ,𝜼)$ és pla, això significa que existix un difeomorfismo entre ${ℝ}^4$. Els cuadrivectores en este cas s'obtenen simplement afegint als tres components de qualsevol magnitut vectorial de la mecànica newtoniana un «escalar newtoniano» de tal manera que formem vectores en tres components espacials (les del vector newtoniano) i un component temporal (el «escalar newtoniano»), a continuació es presenta la compleción covariant d'algunes magnituts vectorials de la mecànica newtoniana:

• Cuadrivector velocitat o cuadrivelocidad. De la mateixa manera que la velocitat en mecànica newtoniana és la derivada temporal de la posició respecte al temps, en la teoria especial de la relativitat la cuadrivelocidad és la derivada temporal del cuadrivector posició respecte al temps propi de la partícula. Donada la relació entre el temps coordenado i el temps propi el cuadrivector velocitat ve dau per:

A on $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$ és la velocitat newtoniana convencional i $\gamma$ és el factor de Lorentz.

• Cuadrivector moment o cuadrimomento: és el producte de la cuadrivelocidad per la massa en repòs i per tant ve dau per:

• Cuadrivector acceleració o cuadriaceleración. S'obté com la derivada de la cuadrivelocidad respecte al temps propi; reescrivint el resultat en térmens de la velocitat $𝐯$ i acceleració $𝐚$ newtonianas, resulta:

• Cuadrivector força o cuadrifuerza. Es definix com la derivada del moment llineal respecte al temps propi per lo que resulta ser:

• Cuadrivector de densitat de corrent. En un sistema de càrregues en moviment es definix la densitat de corrent al fluix de càrrega tridimensional ${𝐣}_e$ com la cantitat de càrrega que passa a través d'un punt de l'espai per unitat de temps i per unitat de superfície. En relativitat la magnitut corresponent s'obté agregant-li la densitat de càrrega elèctrica:

$𝐉=({\rho }_{e}c,{\rho }_e{v}_x,{\rho }_e{v}_y,{\rho }_e{v}_z)=({\rho }_{e}c,{𝐣}_e)$

• Cuadrivector de potencial. El potencial escalar de l'electromagnetisme clàssic, junt en el potencial vector, que el seu rotacional dona el camp magnètic, formen junts un cuadrivector donat per:

$𝐀=(\varphi /c,A_x,A_y,A_z)$

Cuadritensores en relativitat especial

Ademés algunes atres magnituts tractades en mecànica newtoniana com pseudovectores o vectores axials, com el moment angular i el camp magnètic corresponen en mecànica relativista al dual de Hodge dels components espacials d'un tensor antisimètric:

• Cuadritensor moment angular. És el producte tensorial antisimetrizado del cuadrimomento per un cuadrivector de posició:

$𝐋=\left(\begin{array}{cccc}0& ct{p}_x-Ex/c& ct{p}_y-Ey/c& ct{p}_z-Ez/c\\ Ex/c-ct{p}_x& 0& x{p}_y-y{p}_x& x{p}_z-z{p}_x\\ Ey/c-ct{p}_y& y{p}_x-x{p}_y& 0& y{p}_z-z{p}_y\\ Ez/c-ct{p}_z& z{p}_x-x{p}_z& z{p}_y-y{p}_z& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& r_x& r_y& r_z\\ -r_x& 0& L_z& -L_y\\ -r_y& -L_z& 0& L_x\\ -r_z& L_y& -L_x& 0\end{array}\right)$

Pot vore's que els tres components espacials formen el moment angular de la mecànica newtoniana $𝐥=(L_x,L_y,L_z)$ i el restant de components $(r_x,r_y,r_z)$ descriuen el moviment del centre de masses relativista.

• Cuadritensor camp electromagnètic:

$𝐅=\left(\begin{array}{cccc}{F}_{00}& F_{01}& F_{02}& F_{03}\\ F_{10}& F_{11}& F_{12}& F_{13}\\ F_{20}& F_{21}& F_{22}& F_{23}\\ F_{30}& F_{31}& F_{32}& F_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& B_z& -B_y\\ -E_y/c& -B_z& 0& B_x\\ -E_z/c& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

Cuadriescalares en relativitat especial

Ademés de cuadrivectores i cuadritensores algunes magnituts relativistes són tensors d'orde zero, és dir, escalares. Entre els escalares relativistes més importants estan:

• Interval d'espai-temps:

  $\Delta s^2=x^a{x}^b{\eta }_{ab}=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$

• Temps propi (per a intervals timelike):

  $\Delta \tau =\sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\Delta s^2>0$

• Massa en repòs:

  $m_0^2{c}^2=p^a{p}^b{\eta }_{ab}=\frac{E^2}{c^2}-p_x^2-p_y^2-p_z^2$

• Invariante electromagnètic:

  $F_{ab}{F}^{ab}=2(B^2-\frac{E^2}{c^2})G_{cd}{F}^{cd}={ϵ}_{abcd}{F}^{ab}{F}^{cd}=\frac{2}{c}(\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{E})$

Vore també

• Anex:Glossari de relativitat