Pla de rotació

Pla de rotació (contenint la circumferència taronja) i eix de rotació (en color vert) ortogonals entre sí, associats en l'espai euclídeo tridimensional

En geometria, un pla de rotació és un objecte abstracte utilisat per a definir o visualisar rotacions en l'espai. En l'espai tridimensional és una alternativa a un eix de rotació, pero a diferència de l'eix d'est, es pot usar en atres dimensions, com dos, quatre o més dimensions.

Matemàticament, dits plans es poden descriure en térmens de plans i d'ànguls de rotació, i es poden associar en bivectorés segons els principis del àlgebra geomètrica. Estan relacionats en els vectores propis i els valors propis d'una matriu de rotació. I, en particular, els seus dimensions estan relacionades en atres propietats algebraiques i geomètriques, que poden generalisar-se a atres dimensions.

Els plans de rotació no s'usen molt en dos i tres dimensions, ya que en dos dimensions solament hi ha un pla, per lo que l'identificació del pla de rotació és trivial i rara volta s'usa, mentres que en tres dimensions l'eix de rotació servix per al mateix propòsit i és un enfocament més establit. L'us principal dels plans de rotació és en la definició de rotacions més complexes en dimensions més altes, a on es poden usar per a dividir les rotacions en parts més simples. Açò es pot fer usant àlgebra geomètrica, en els plans de rotació associats en bivectores simples en l'àlgebra corresponent.

Definicions

Pla

Per a este artícul, tots els plans passen a través del orige de coordenades, és dir, contenen el vector zero. Estos plans en el espai n-dimensional és un subespacio vectorial bidimensional de l'espai. Està completament especificat per dos vectores distints de zero i no paralels que es troben en el pla, és dir, per dos vectores qualssevol a i b, de manera que

$𝐚\wedge 𝐛\ne 0,$

a on ∧ és el producte exterior del àlgebra exterior o àlgebra geomètrica (en tres dimensions es pot usar el producte vectorial). Més precisament, la cantitat a ∧ b és el bivector associat en el pla especificat per a i b, i té una magnitut Plantilla:Absf Plantilla:Absf sen φ, a on φ és l'àngul entre els vectores; d'ahí el requisit de que els vectores siguen distints de zero i no paralels.

Si el bivector a ∧ b s'escriu B, llavors la condició de que un punt es trobe en el pla associat en B és simplement

$𝐱\wedge 𝐁=0.$

Açò és cert en totes les dimensions i pot prendre's com la definició del pla. En particular, des de les propietats del producte exterior se satisfà tant en a com en b, i per lo tant en qualsevol vector de la forma

$𝐜=\lambda 𝐚+\mu 𝐛,$

en número real λ i μ. Com λ i μ comprenen tots els número real, c comprén tot el pla, per lo que pot prendre's com una atra definició del propi pla.

Pla de rotació

Un pla de rotació per a una rotació particular implica una aplicació llineal sobre sí mateixa, definida per la rotació donada. El pla no és fix, pero tots els vectores en el pla s'assignen a atres vectores en el mateix pla per mig de la rotació. Esta transformació del pla sobre sí mateixa sempre és una rotació respecte a l'orige, a través d'un àngul que és l'àngul de rotació per al pla.

Cada rotació, llevat la rotació identitat (per mig de la matriu identitat) té a lo manco un pla de rotació, i fins a

$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$

plans de rotació, a on n és la dimensió. El número màxim de plans fins a huit dimensions es mostra en esta taula:

Dimensió	2	3	4	5	6	7	8
Número de plans	1	1	2	2	3	3	4

Quan una rotació té múltiples plans de rotació, sempre són ortogonals entre sí, en únicament l'orige en comú. Esta és una condició més forta que dir que els plans formen ànguls rectes. Significa que els plans no tenen vectores comuns distints de zero, i que cada vector en un pla és ortogonal a cada vector en l'atre pla. Açò solament pot succeir en quatre o més dimensions. En dos dimensions solament hi ha un pla, mentres que en tres dimensions tots els plans tenen a lo manco un vector distint de zero en comú, en el seu recta d'intersecció.

En més de tres dimensions els plans de rotació no són sempre únics. Per eixemple, la matriu identitat negativa en quatre dimensions (l'inversió central),

$\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),$

descriu una rotació en quatre dimensions en la que cada pla a través de l'orige és un pla de rotació a través d'un àngul Π, per lo que qualsevol parell de plans ortogonals genera la rotació. Pero per a una rotació general és a lo manco teòricament possible identificar un conjunt únic de plans ortogonals, en cada u dels quals els punts es giren a través d'un àngul, per lo que el conjunt de plans i ànguls caracterisa completament la rotació.

Dos dimensions

En l'espai bidimensional solament hi ha un pla de rotació, el pla de l'espai mateix. En un sistema de coordenades cartesianas és el pla cartesiano, i en número complejo és el pla complex. Per lo tant, qualsevol rotació és de tot el pla, és dir, de l'espai, mantenint solament l'orige de coordenades fix. S'especifica completament per l'àngul de rotació en signe, en el ranc, per eixemple, −Π a Π. Llavors, si l'àngul és θ, la rotació en el pla complex ve donada per la fòrmula de Euler:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta ,$

mentres que la rotació en un pla cartesiano ve donada per la matriu de rotació d'orde 2 × 2:

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\mathrm{sen}\theta \\ \mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right).$