Simetria central

Simetria central

Simetria central plana en un naïp

En geometria, una simetria central (també cridada simetria respecte a un punt, o equinversión anormal) és una transformació afí en la que cada punt es reflectix a través d'un punt fix determinat cridat centre de la simetria.

En ciències físiques, i especialment quan es tracta d'estructures cristalines, s'utilisen més comunament els térmens simetria d'inversió, inversió central o centrosimetría.

Principals propietats

En una simetria central, els segments homòlecs són iguals, i la mida dels ànguls corresponents també és igual. Dos punts corresponents P i P’ són simètrics respecte al punt O, quan són iguals els vectores PO i OP’, és dir, quan P i P’ equidistan del centre de simetria O, que es troba en el centre del segment PP'.

• Expressat d'una atra forma, qualsevol parell de punts centralmente simètrics A i A’ respecte a O, complixen les dos següents condicions: A i A’ estan alineats, de modo que la recta que els unix pansa per O; i la distància d'O al punt A és igual que la d'O al transformat A’.

Una simetria central és una involució: aplicar-la dos voltes equival a la funció identitat, i també pot interpretar-se com una homotecia en factor d'escala −1. El punt d'inversió també es diu centre de homotecia.

Es diu que un objecte que és invariante baix una reflexió puntual posseïx simetria puntual; i si és invariante baix una reflexió puntual a través de la seua centre, es diu que posseïx simetria central o que és centralmente simètric. Un grup puntual que inclou un punt de reflexió entre les seues simetria es denomina centrosimétrico.

En un espai euclídeo, una reflexió puntual és una isometría (ya que conserva les distàncies). En un pla, una reflexió puntual és lo mateix que un gir de mig regrés (és dir, un moviment de rotació de 180° o π radianes). Quan el punt de reflexió està situat en el centroide d'un objecte, una simetria central equival a un gire de mig regrés.

• El punt O, centre de simetria, està situat entre qualsevol parell de punts A i el seu simètric A'. El simètric d'O és el propi punt O.
• L'image simètrica central d'un segment és un atre segment d'igual tamany. El centre de simetria està en el centre del segment total, i és l'únic punt simètric de sí mateixa.
• L'image d'un triàngul, per mig de simetria central, és un atre triàngul congruent en el primer.
• L'image d'un polígon, per mig de simetria central, és un atre polígon congruent en el primer.
• Els polígons regulars en un número par de costats tenen com a centre de simetria el seu centre geomètric (baricentre); de modo que a qualsevol punt d'este polígon, li correspon un homòlec que està en el mateix polígon.
• El centre d'un triàngul equilátero no és centre de simetria, en el sentit de que reproduïxca la mateixa figura, ya que l'homòlec de cada vèrtiç ix del costat opost. La mateixa situació es dona en el cas d'un tetraedre regular, el centre geomètric del qual no és un punt de simetria central del poliedre.
• El centre d'un quadrat és el centre de simetria de la figura. D'igual manera, el centre d'una gaveta és centre de la simetria puntual del sòlit. El centre de l'esfera també és el centre de la simetria puntual de la figura.

Terminologia

El terme simetria central s'utilisa àmpliament. No obstant, en ser una transformació involutiva (lo que significa que té orde 2 per ser la seua pròpia funció inversa: en aplicar-se dos voltes, s'obté la funció identitat), s'identifica en atres aplicacions denominades reflexions que també conten en esta propietat. Més específicament, el terme reflexió fa referència a una simetria respecte a un hiperplano (un espai afí $n-1$ dimensional; com un punt en una recta; una recta en un pla; o un pla en un espai tridimensional), en el hiperplano fix, pero en térmens més generals. En conseqüència, la paraula reflexió també s'aplica a qualsevol involució de l'espai euclídeo, i el conjunt fix (un espai afí de dimensió k, a on $1\le k\le n-1$) es denomina espill. En la dimensió 1 coincidixen, ya que un punt és un hiperplano respecte a la llínea recta.

En térmens de l'àlgebra llineal, suponent que l'orige és fix, les involució són exactament les aplicacions representades per matrius diagonalisables en tots els autovalores 1 o −1. La reflexió respecte a un hiperplano té un únic valor propi −1 (i multiplicitat $n-1$ en el valor propi 1), mentres que la reflexió puntual té solament el valor propi −1 (en multiplicitat n).

El terme inversió no deu confondre's en el de geometria inversiva, a on la inversió es definix sobre una circumferència.