Hiperplano

Hiperplano

Pla afí en l'espai real tridimensional.

En geometria, un hiperplano és una extensió del concepte de pla.

En un espai unidimensional (com una recta), un hiperplano és un punt: dividix una llínea en dos llínees. En un espai bidimensional (com el pla xy), un hiperplano és una recta: dividix el pla en dos mitats. En un espai tridimensional, un hiperplano és un pla corrent: dividix l'espai en dos mitats. Este concepte també pot ser aplicat a espais de quatre dimensions i més, a on estos objectes divisores es diuen simplement hiperplanos, ya que la finalitat d'esta nomenclatura és la de relacionar la geometria en el pla.

Definició formal

En general, donat un espai afí de dimensió n, un hiperplano és un subespacio afí de dimensió n-1. En atres paraules, un hiperplano és un anàlec de moltes dimensions al pla (de dos dimensions) en l'espai tridimensional.

Un hiperplano afí en un espai n-dimensional pot ser descrit per una equació llineal no degenerada en la següent forma:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{...}+a_n{x}_n=b$

Ací no degenerada significa que no totes les a_i són 0. Si b=0, s'obté un hiperplano llineal, que passa a través de l'orige.

Les dos mitats de l'espai definides per un hiperplano en espais de n dimensions són:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{...}+a_n{x}_n\le b$

i

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{...}+a_n{x}_n\ge b$