Distributividad

Archiu:Illustration of distributive property with rectangles.svg

Ilustració de la propietat distributiva dels sancers positius.

Plantilla:Regles de transformació En matemàtiques, la distributividad és la propietat de les operacions binarias que generalisa la propietat distributiva del àlgebra elemental. La propietat distributiva de la multiplicació sobre la suma en àlgebra elemental és aquella en la que el resultat d'un número multiplicat per la suma de dos o més sumants, és igual a la suma dels productes de cada sumant per eixe número. En térmens algebraics:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Eixemple: $3\cdot (5+4)=3\cdot (9)=27$

$(3\cdot 5)+(3\cdot 4)=15+12=27$

En abdós casos els resultats són iguals. Esta propietat, particularizada per a la suma i el producte, es pot generalisar a qualsevol atre parell d'operacions aritmètiques, obtenint d'esta forma la definició de distributividad.

Esta propietat bàsica dels números forma part de la definició de la majoria de les estructures algebraiques que tenen dos operacions anomenades suma i multiplicació, com els número complejo, els polinomi, les matrius, els anells i els camps. També es troba en l'àlgebra booleana i en la llògica matemàtica, a on cada una de les i llògiques (denotades $,|land$) i de les o llògiques (denotades $,|lor$) es distribuïx sobre l'atra.

Definició

Siga A un conjunt donat en el que s'han definit dos operacions binarias ($\circ$ ; $\star$). Llavors:

• L'operació $\circ$ és distributiva per l'esquerra respecte de l'operació $\star$ si es complix que daus tres elements qualssevol a, b, c $\in$ A, llavors

$a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)$

• L'operació $\circ$ és distributiva per la dreta respecte de l'operació $\star$ si es complix que daus tres elements qualssevol a, b, c $\in$ A, llavors

$(b\star c)\circ a=(b\circ a)\star (c\circ a)$

• L'operació $\circ$ és distributiva respecte de l'operació $\star$ si és distributiva per la dreta i distributiva per l'esquerra, açò és, no complix que daus tres elements qualssevol a, b, c $\in$ A, llavors

$a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)$ ∧ $(b\star c)\circ a=(b\circ a)\star (c\circ a)$

Cal notar que si l'operació $\circ$ complix la propietat conmutativa, llavors les tres condicions són equivalents, i basta que es complixca una qualsevol d'elles per a que les atres dos també es complixquen simultàneament.

Les lleis distributivas es troben entre els axioma per a anells (com l'anell de sancers) i camps (com el camp de número racional). Ací la multiplicació és distributiva sobre la suma, pero la suma no és distributiva sobre la multiplicació. Eixemples d'estructures en dos operacions que són cada una distributiva sobre l'atra són les àlgebra booleanas com l'àlgebra de conjunts o l'àlgebra conmutativa.

La multiplicació de sumes pot expressar-se de la següent manera: Quan es multiplica una suma per una atra, es multiplica cada sumant d'una suma per cada sumant de l'atra suma (sense perdre de vista els signes) i després se sumen tots els productes resultants.

Eixemples

Número real

En els següents eixemples, es mostra l'us de la propietat distributiva en el conjunt d'número real $ℝ$. Quan es menciona la multiplicació en matemàtiques elementals, generalment es referix a este tipo de multiplicació. Des del punt de vista de l'àlgebra, els número real formen un camp, la qual cosa segura la validea de la llei distributiva.

Primer eixemple (multiplicació mental i escrita)

Durant aritmètica sense llapis, a sovint la distributividad s'utilisa de manera inconscient: $$6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96$$

Per lo tant, per a calcular $6\cdot 16$ sin ayuda de llapis, primer es multiplica $6\cdot 10$ i $6\cdot 6$ i se suma els resultats intermijos. La multipicación realisada escrivint també es basa en la llei distributiva.

Segon eixemple (en variables)

$$3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^2{b}^2$$

Tercer eixemple (en dos sumes)

$$\begin{array}{cc}(a+b)\cdot (a-b)& =a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2\\ & =(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^2+ba-ab-b^2=a^2-b^2\\ \end{array}$$

En este cas la propietat distributiva va ser aplicada dos voltes, i no importa quin paréntesis es resol primer.

Quart eixemple

En este cas la propietat distributiva és usada al revés comparada en els casos en els eixemples anteriors. Siga $$12a^3{b}^2-30a^{4}bc+18a^2{b}^3{c}^2.$$

Ya que el factor $6a^{2}b$ es troba en tots els sumants, li'l pot extraure com a factor comú. Per lo que d'acort a la propietat distributiva s'obté $$12a^3{b}^2-30a^{4}bc+18a^2{b}^3{c}^2=6a^{2}b(2ab-5a^{2}c+3b^2{c}^2).$$

Matrius

La llei distributiva és vàlida per a la multiplicació de matrius. O siga, $$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$ per a totes matrius $A,B$ $l\times m$ i matriu $C,$ $m\times n$ com també $$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$ per a totes matriu $A$ $l\times m$ i matrius $B,C.$ $m\times n$

Com la propietat conmutativa no és vàlida per a la multiplicació de matrius, la segona llei no es deriva de la primera llei. En este cas, són dos lleis diferents.

Sancers de Gauss

Entre els número complejo, un cas interessant és el dels sancers gaussianos, que s'escriuen en la forma z = n + mi en n i m sancers. Usem la distributividad de la multiplicació complexa per a mostrar per eixemple que (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i, és dir que 1 + i és raïl quadrada de 2i. De manera més general, vàrem demostrar que el producte de dos sancers gaussianos és un sancer gaussiano.

Atres eixemples

• En canvi la multiplicació de números ordinals, solament és distributiva per esquerra, no per dreta.
• El producte creu és distributivo per dreta i per esquerra sobre la sumixca de vectores, encara que no és conmutativo.
• l'unió de conjunts és distributiva sobre l'intersecció, i l'intersecció és distributiva sobre l'unió.
• La disjunció llògica ("o") és distributiva sobre la conjunció llògica ("I"), i viceversa.
• Per als número real (i para tot conjunt totalment ordenat), l'operació màxim és distributiva sobre l'operació mínim, i viceversa: $$\max (a,\min (b,c))=\min (\max (a,b),\max (a,c))\text{ y }\min (a,\max (b,c))=\max (\min (a,b),\min (a,c)).$$
• Para sancers, el màxim comú divisor és distributivo sobre el mínim comú múltiple, i viceversa: $$\gcd (a,\mathrm{lcm}(b,c))=\mathrm{lcm}(\gcd (a,b),\gcd (a,c))\text{ y }\mathrm{lcm}(a,\gcd (b,c))=\gcd (\mathrm{lcm}(a,b),\mathrm{lcm}(a,c)).$$
• Per als número real, la suma es distribuïx sobre l'operació de màxim, i també sobre l'operació de mínim: $$a+\max (b,c)=\max (a+b,a+c)\text{ y }a+\min (b,c)=\min (a+b,a+c).$$
• En la multiplicació binomial, la distribució a voltes es denomina com el método PEIU (Primers térmens $ac,$ Exteriors $ad,$ Interiors $bc,$ i Últims $bd$) such as: $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.$

• En tots els semianillos, inclosos els número complejo, les multiplicacions de cuaternionés, polinomis, i matrius, és distributiva sobre la suma: $u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.$
• En totes les àlgebra en un camp, inclosos els octonionés i atres àlgebra no associatives, la multiplicació és distributiva respecte de la suma.

Distributividad i grosseig

En l'aritmètica aproximada, com l'aritmètica de punt flotant, la propietat distributiva de la multiplicació (i divisió) sobre la suma pot fallar per les llimitacions de la precisió aritmètica. Per eixemple, l'identitat $1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3$ falla en l'aritmètica decimal, independentment del número de dígits significatius. Métodos com el grosseig bancari poden ajudar en alguns casos, de la mateixa manera que aumentar la precisió utilisada, pero en última instància, alguns errors de càlcul són inevitables.

Llògica proposicional

Regla de tongada

En la llògica proposicional funcional de veres estàndar, la distribució en les demostracions llògiques utilisa dos regles de tongada vàlides per a expandir les ocurrències individuals de certes conectivas llògiques, dins d'alguna fòrmula, en aplicacions separades d'eixes conectivas a través de subfórmulas de la fòrmula donada. Les regles són

$$(P\wedge (Q\vee R))\iff ((P\wedge Q)\vee (P\wedge R))\text{ and }(P\vee (Q\wedge R))\iff ((P\vee Q)\wedge (P\vee R))$$ a on "$\iff$>", també escrit $\equiv ,$ és un símbol metalógico que representa "pot ser reemplaçat en una prova en" o "és llògicament equivalent a".

Conectivas funcionals de veres

La distributividad d'alguns conectivos llògics de llògica proposicional funcional de veres. Les següents equivalència llògiques demostren que la distributividad és una propietat de les conectivas particulars. Les següents són tautologias funcionals de veres. $$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}& (P& & \wedge & & (Q\vee R))& & \iff & & ((P\wedge Q)& & \vee (P\wedge R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ conjunción }& & \text{ sobre }& & \text{ disyunción }\\ & (P& & \vee & & (Q\wedge R))& & \iff & & ((P\vee Q)& & \wedge (P\vee R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ disyunción }& & \text{ sobre }& & \text{ conjunción }\\ & (P& & \wedge & & (Q\wedge R))& & \iff & & ((P\wedge Q)& & \wedge (P\wedge R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ conjunción }& & \text{ sobre }& & \text{ conjunción }\\ & (P& & \vee & & (Q\vee R))& & \iff & & ((P\vee Q)& & \vee (P\vee R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ disyunción }& & \text{ sobre }& & \text{ disyunción }\\ & (P& & \to & & (Q\to R))& & \iff & & ((P\to Q)& & \to (P\to R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ implicación }& & & & \\ & (P& & \to & & (Q\leftrightarrow R))& & \iff & & ((P\to Q)& & \leftrightarrow (P\to R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ implicación }& & \text{ sobre }& & \text{ equivalencia }\\ & (P& & \to & & (Q\wedge R))& & \iff & & ((P\to Q)& & \wedge (P\to R))& & \text{ Distribución de }& & \text{ implicación }& & \text{ sobre }& & \text{ conjunción }\\ & (P& & \vee & & (Q\leftrightarrow R))& & \iff & & ((P\vee Q)& & \leftrightarrow (P\vee R))& & \text{ Distribución de}& & \text{ disyunción }& & \text{ sobre }& & \text{ equivalencia }\\ \end{array}$$

Distribució doble

$$\begin{array}{cccccccccccc}& ((P\wedge Q)& & \vee (R\wedge S))& & \iff & & (((P\vee R)\wedge (P\vee S))& & \wedge ((Q\vee R)\wedge (Q\vee S)))& & \\ & ((P\vee Q)& & \wedge (R\vee S))& & \iff & & (((P\wedge R)\vee (P\wedge S))& & \vee ((Q\wedge R)\vee (Q\wedge S)))& & \\ \end{array}$$

Generalisacions

En vàries àrees matemàtiques es consideren lleis de distributividad generalisades. Açò pot implicar el carpiment de les condicions anteriors o l'extensió a operacions infinites. Especialment en teoria de l'orde es troben numeroses variants importants de la distributividad, algunes de les quals inclouen operacions infinites, com la llei distributiva infinita; unes atres es definixen en presència de només una operació binaria, com les definicions corresponents i les seues relacions es donen en l'artícul distributividad (teoria de l'orde). Açò també inclou la noció d'una ret completament distributiva.

En presència d'una relació d'ordenació, també es poden debilitar les igualtats anteriors substituint $=$ per $\le$ o $\ge .$ Naturalment, açò donarà lloc a conceptes significatius només en algunes situacions. Una aplicació d'este principi és la noció de subdistributividad, com s'explica en l'artícul sobre aritmètica d'intervals.

En teoria de la categoria, si $(S,\mu ,\nu )$ i $(S^{\prime },{\mu }^{\prime },{\nu }^{\prime })$ són mónadas en una categoria $C,$ una llei distributiva $S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S$ és una transformació natural $\lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S$ tal que $(S^{\prime },\lambda )$ és un mapa laxo de mónadas $S\to S$ and $(S,\lambda )$ és un mapa colaxo de mónadas $S^{\prime }\to S^{\prime }.$ Estos són exactament les senyes necessàries per a definir una estructura de mónada sobre $S^{\prime }.S$: el mapa de multiplicació és $S^{\prime }\mu .{\mu }^{\prime }{S}^2.S^{\prime }\lambda S$ i el mapa unitari és ${\eta }^{\prime }S.\eta .$.

També s'ha propost una llei distributiva generalisada en l'àmbit de la teoria de l'informació.

Antidistributividad

L'ubiqua identitat que relaciona els inversos en l'operació binaria en qualsevol grup, a saber $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1},$ que es pren com a axioma en el context més general d'un semigrupo en involució, s'ha cridat a voltes una propietat antidistributiva (de l'inversió com operació unaria).

En el context d'un casi-anell, que elimina la conmutatividad del grup escrit aditivamente i assumix només la distributividad d'un costat, es pot parlar de elements distributivos (de dos costats) pero també de elements antidistributivos. Estos últims invertixen l'orde de l'adició (no conmutativa); suponent un anell d'esquerra (és dir, que tots els elements es distribuïxen quan es multipliquen per l'esquerra), llavors un element antidistributivo $a$ invertix l'orde de l'adició quan es multiplica per la dreta: $(x+y)a=ya+xa.$

En l'estudi de la llògica proposicional i l'àlgebra de Boole, el terme llei antidistributiva s'utilisa a voltes per a denotar l'intercanvi entre la conjunció i la disjunció quan l'implicació és un factor sobre elles: $$(a\vee b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\wedge (b\Rightarrow c)$$ $$(a\wedge b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\vee (b\Rightarrow c).$$

Estes dos tautologia són una conseqüència directa de la dualitat en les lleis de De Morgan.

Vore també

• Propietat conmutativa
• Propietat associativa
• Element invers
• Element neutre

Enllaços externs

• Operacions binarias Artícul sobre operacions binarias i les seues propietats.
• «Distributividad» (en castellà). Archivat des d'el original, el 26 de setembre de 2010. Consultat el 22 d'abril de 2011.