Àlgebra de conjunts

En matemàtiques, àlgebra de conjunts^[1]^[2]^[3] és l'estudi de les operacions bàsiques que poden realisar-se en conjunts, com l'unió, intersecció i complementación.

Conjunts

Artícul principal → Conjunt.

Un conjunt és una colecció d'objectes considerada com un objecte en sí. Un conjunt està definit únicament pels elements que ho componen, i no per la manera en la que li'l representa.

Existix una série de relacions bàsiques entre conjunts i els seus elements:

Pertinença. La relació relativa a conjunts més bàsica és la relació de pertinença. Donat un element $x$ , est pot o no pertànyer a un conjunt dau $A$ . Açò s'indica com:

x \in A ⟶

x

pertany a

A

.

x \notin A ⟶

x

no pertany a

A

.

Igualtat. Dos conjunts són iguals si i solament si tenen els mateixos elements. Este principi, denominat principi de extensionalidad establix el fet de que un conjunt queda definit únicament pels seus elements

A = B ⟶

A

és igual a

B

.

A \neq B ⟶

A

no és igual a

B

.

Inclusió. Donat un conjunt $A$ , subcolección del conjunt $B$ o igual a est, els seus elements són un subconjunt de $B$ , i s'indica com:

A \subseteq B ⟶

A

és un subconjunt de

B

.

A ⊈ B ⟶

A

no és subconjunt de

B

.

El conjunt buit és el conjunt sense cap element, i es denota per $\emptyset$ o per ${}$ . El conjunt universal és el conjunt que conté tots els elements possibles, dins del context considerat. Per eixemple, si s'estudien els número natural, el conjunt universal és el conjunt de tots ells, $ℕ$ . De manera general, el conjunt universal es denota per $U$ .

Eixemples

Cada número natural és element del conjunt $ℕ = {1, 2, 3, \dots, n}$ dels número natural: $1 \in ℕ, 2 \in ℕ, 3 \in ℕ, \dots, 𝕟 \in ℕ$ . Cada número par és també un número natural, per lo que el conjunt $ℙ$ dels número par, $P = {2, 4, 6, \dots, 2 n}, n \in ℕ$ , és un subconjunt de $ℕ$ : $P \subseteq ℕ$ . Donat el conjunt de lletres $V = {o, i, e, u, a}$ , es complix per eixemple que $a \in V$ o també $i \in V$ . El conjunt de lletres $U = {vocales del español}$ conté els mateixos elements que $V$ , per lo que abdós conjunts són iguals, $V = U$ .

Operacions en conjunts

Esta és la representació gràfica d'un conjunt, en este cas tractem el conjunt dels polígons, dins d'est hi ha multitut d'elements (tots els polígons), pero hi ha un conjunt pertanyent a l'anterior que és el conjunt de polígons regulars.

En les matemàtiques, podem fer lo que vullgam definir a un conjunt, per ser un concepte primitiu, pero fem abstracció i ho pensem com una colecció desordenada d'objectes, els objectes d'un conjunt poden ser qualsevol cosa sempre que tinguen una relació entre ells, als objectes d'un conjunt se'ls crida elements de dit conjunt, per lo tant un conjunt conté als seus elements. Es representen en una lletra mayúscula i als elements o membres d'eixe conjunt se'ls fica entre claus corchetes o paréntesis. ({,}).

Dos conjunts es poden combinar de moltes maneres distintes, per eixemple, tenint un conjunt de la gent que juga al fútbol i un atre de la gent que juga a bàsquet podem fer moltes combinacions com el conjunt de persones que juguen a fútbol o bàsquet, les que juguen a fútbol i bàsquet, les que no juguen a bàsquet, etc.

Algunes d'estes operacions posseïxen propietats similars a les operacions en número natural. Per eixemple, l'unió i l'intersecció són conmutativas i associatives. El conjunt buit és l'element neutre de l'unió, i l'element absorbent de l'intersecció i del producte cartesiano. El conjunt universal és l'element neutre de l'intersecció i l'element absorbent de l'unió.

Ademés, les operacions d'unió, intersecció, diferència i complement són molt similars a les operacions en un àlgebra de Boole, aixina com als conectors llògics de la llògica proposicional.^[4]

Per lo tant anem a vore les distintes operacions que hi ha en els conjunts:

Unió

El símbol de l'operador d'esta operació és: $\cup$ , i és cridat copa.

És corresponent a la formació dels elements de dos conjunts o inclús més conjunts que poden, partint d'açò conformar una nova forma de conjunt, en la qual els elements dins d'est corresponguen als elements dels conjunts originals. Quan un element és repetit, forma part d'una volta solament; açò diferix del concepte de multiconjuntos en la concepció tradicional de la suma, en la qual els elements comuns es consideren tantes voltes com es troben en la totalitat dels conjunts.

Sean A i B dos conjunts, l'unió d'abdós (A $\cup$ B) és el conjunt C el qual conté a tots els elements pertanyents al conjunt A o al conjunt B.

Un element x pertany a l'unió dels conjunts A i B si, i només si, x pertany al conjunt A o x pertany al conjunt B, per lo tant $A \cup B = {x / x \in A \lor x \in B}$

Eixemples

En el Diagrama de Venn que es mostra en l'image de la dreta es pot observar com és de forma gràfica, a continuació posaré també alguns eixemples pràctics:

Eixemple: L'unió dels conjunts A={1,2,3} i B={4,5,6} seria el conjunt C={1,2,3,4,5,6}, açò és: {1,2,3} $\cup$ {4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
Eixemple: L'unió de persones que juguen al fútbol i de persones que juguen al bàsquet serien les persones que juguen a fútbol o bàsquet.

Intersecció

El símbol de l'operador d'esta operació és: $\cap$ , i és cridat capa.

Sean A i B dos conjunts, la coincidència d'abdós (A $\cap$ B) és el conjunt C el qual conté els elements que estan en A i que estan en B.

Un element x pertany a la coincidència dels conjunts A i B si, i només si, x pertany al conjunt A i x pertany al conjunt B al mateix temps, per lo tant $A \cap B = {x / x \in A \land x \in B}$ .

Disjuntividad

Es diu que dos conjunts A i B són disjuntos quan la coincidència d'abdós és el conjunt buit. A $\cap$ B= $\emptyset$

Eixemples

Eixemple: La coincidència del conjunt d'número par i el conjunt d'número impar seria el conjunt C= $\emptyset$ o siga serien disjuntos.
Eixemple: La coincidència del conjunt de persones que juguen només al bàsquet i el conjunt de persones que juguen només al fútbol és el conjunt buit. Per lo tant són disjuntos.
Eixemple: La coincidència de A={3,7,8} i B={1,2,9} seria C= $\emptyset$ , ya que {3,7,8} $\cap$ {1,2,9}= $\emptyset$ per lo tant A i B són disjuntos.

Diferència

Archiu:Caps block 4 caps block 5 .svg

Diagrama de Venn que mostra la diferencia de dos conjunts A B

El símbol d'esta operació és: .

La diferència consistix en eliminar de A tot element que estiga en B, també es pot denotar en el símbol de la resta A-B, per lo tant, la diferència dels conjunts A i B és el conjunt C que té a tots els elements que estan en A, pero no en B.

També se li pot cridar a la diferència d'i B: complementari de B sobre A.

Per lo tant, un element pertany a la diferència d'i B si, i només si ${x / x \in A \land x \in̸ B}$

Eixemples

Eixemple: La diferència dels conjunts A {1,2,3,4} i B {1,3,5,7} és el conjunt C {2,4}, no obstant la diferència dels conjunts B {1,3,5,7} i A {1,2,3,4} és el conjunt C{5,7}.
Eixemple: La diferència del conjunt de les persones que juguen al fútbol i el conjunt de les persones que juguen a bàsquet és el conjunt de les persones que solament i exclusivament juguen al fútbol.

Complement

Archiu:Caps block 9 ejemplo.svg

Diagrama de Venn que mostra el complement d'un conjunt A

El símbol d'esta operació és: $A ∁$ , o també se sol representar en el símbol $Plantilla:Sobrerrayado$

Supongam que O és el conjunt universal, en el qual es troben tots els elements possibles, llavors el complementari de A sobre O es conseguix restant a O tots els elements de A.

Eixemples

Eixemple: El complementari del conjunt d'número par és el conjunt d'número impar
Eixemple: El complementari del conjunt de persones que juguen a fútbol és el conjunt de persones que no ho juguen.
Eixemple: El complementari del conjunt de tots els números positius majors de 5 incloent el 5, és el conjunt {1,2,3,4}

Diferència simètrica

El símbol d'esta operació és: Δ.

La diferència simètrica de dos conjunts $A$ i $B$ és un atre conjunt el qual posseïx els elements que o be es troben en A, o be es troben en B, pero no en els dos al mateix temps. $A Δ B$ = C, a on C no té

Eixemple: La diferència simètrica del conjunt de persones que juguen a fútbol i el conjunt de persones que juguen a bàsquet és el conjunt de persones que juguen només a fútbol i només a bàsquet, pero no que juguen a abdós al mateix temps.

Producte cartesiano

En un conjunt els elements estan desordenats i l'orde és molt important, per això necessitem algun tipo d'estructura diferent per a representar als elements ordenats, d'ahí ixen les n-tuplas ordenades.

La n-tupla ordenada $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n})$ és la colecció ordenada on el seu primer element és $(a_{1})$ , $(a_{2})$ és el seu segon element, ... i $(a_{n})$ l'element n-ésimo.

Es pot dir que dos n-tuplas ordenades són iguals si, i només si, cada element numerat de cada parell és igual, o siga, $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n})$ = $(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n})$ açò succeïx si, i només si $(a_{i})$ = $(b_{i})$ per a i= 1,2,3,...,n. Les 2-tuplas es diuen parells ordenats (a,b) i (c,d), estos són iguals si, i només si a=c i b=d.

Ara fent referència al producte cartesiano de dos conjunts:

El símbol d'esta operació és: ×

El producte cartesiano de dos conjunts A i B és el conjunt C, C = $A \times B$ , a on els parells ordenats (a,b) estan formats per un primer element pertanyent a A i un segon element pertanyent a B.

$A$ × $B = {(a, b) / a \in A \land b \in B}$

Eixemples

Eixemple: El producte cartesiano de A={2,3} i B={a,b,c} és A×B={(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

Principi d'inclusió-exclusió

És la generalisació del resultat de les unions d'un número arbitrari de conjunts, és una tècnica molt important que s'usa principalment en els problemes d'enumeració.

Succeïx per eixemple quan volem trobar un cardinal de l'unió de dos conjunts i per a trobar dit número de l'unió de dos conjunts finitos A i B, cal tindre en conte que en A $\cup$ B cada element d'està solament una volta en A, pero no en B, i viceversa, pero hi ha alguns elements que poden pertànyer a A i a B al mateix temps, per lo tant el principi d'inclusió-exclusió es basa en restar a l'unió de dos conjunts finitos l'intersecció d'abdós.

Matemàticament: |A| + |B| - |A $\cap$ B|

Identitat

En matemàtiques, una identitat és la constatació de que dos objectes que aparentment són distints per la forma en la que es representen, al final són lo mateix. Per lo tant, una identitat és una igualtat entre dos expressions, entre els conjunts existixen una série de lleis d'identitats, que els mostre a continuació:

Lleis d'identitat

A $\cup$ $\emptyset$ = A, l'unió d'un conjunt qualsevol en el conjunt buit és el mateix conjunt.
A $\cap$ O = A, l'intersecció d'un conjunt qualsevol en el conjunt universal és el mateix conjunt.

Lleis de dominació

A $\cup$ O = O, l'unió d'un conjunt qualsevol en el conjunt universal, és el conjunt universal.
A $\cap$ $\emptyset$ = $\emptyset$ , l'intersecció d'un conjunt qualsevol en el conjunt buit, és el conjunt buit.

Lleis idempotents

A $\cup$ A = A, l'unió d'un conjunt qualsevol en si mateixa, és el mateix conjunt.
A $\cap$ A = A, l'intersecció d'un conjunt qualsevol en si mateixa, és el mateix conjunt.

Llei d'complementación

Plantilla:Sobrerrayado, la negació de la negació d'un conjunt qualsevol, és el mateix conjunt.

Lleis conmutativas

A $\cup$ B = B $\cup$ A
A $\cap$ B = B $\cap$ A

Lleis associatives

A $\cup$ (B $\cup$ C) = (A $\cup$ B) $\cup$ C
A $\cap$ (B $\cap$ C) = (A $\cap$ B) $\cap$ C

Lleis distributivas

A $\cap$ (B $\cup$ C) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ C)
A $\cup$ (B $\cap$ C) = (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)

Lleis de De Morgan

Plantilla:Sobrerrayado = Plantilla:Sobrerrayado $\cap$ Plantilla:Sobrerrayado
Plantilla:Sobrerrayado = Plantilla:Sobrerrayado $\cup$ Plantilla:Sobrerrayado

\overline{⋂_{i \in I} A_{i}} \equiv ⋃_{i \in I} \overline{A_{i}}

\overline{⋃_{i \in I} A_{i}} \equiv ⋂_{i \in I} \overline{A_{i}}

a on I és un conjunt indexat, possiblement incontable.

Lleis d'absorció

A $\cup$ (A $\cap$ B) = A
A $\cap$ (A $\cup$ B) = A

Lleis de complement

A $\cup$ Plantilla:Sobrerrayado = O, l'unió d'un conjunt qualsevol en el seu complementari, és el conjunt universal.
A $\cap$ Plantilla:Sobrerrayado = $\emptyset$ , l'intersecció d'un conjunt qualsevol en el seu complementari, és el conjunt buit.

Unions i interseccions generalisades

Les operacions de unió i de intersecció tenen la propietat associativa, per lo tant si tenim tres conjunts A, B i C...

La unió d'eixos tres conjunts és un atre conjunt D el qual conté tots aquells elements que estan a lo manco en un dels conjunts A, B o C. (A $\cup$ B $\cup$ C)

Un element x pertany a l'unió dels conjunts A, B i C si, i només si, x pertany al conjunt A o x pertany al conjunt B o x pertany al conjunt C, per lo tant: $A \cup B \cup C = {x / x \in A \lor x \in B \lor x \in C}$

La intersecció dels conjunts A, B i C queda com resultat un atre conjunt D el qual té els elements que estan estrictament en A, en B i en C. (A $\cap$ B $\cap$ C)

Un element x pertany a l'intersecció dels conjunts A, B i C si, i només si, x pertany al conjunt A, x pertany al conjunt B i x pertany al conjunt C, per lo tant: $A \cap B \cap C = {x / x \in A \land x \in B \land x \in C}$

Eixemples

Eixemple: L'unió del conjunt de persones que juguen al fútbol, el conjunt de persones que juguen al bàsquet i el conjunt de persones que juguen a tenis, és el conjunt de persones que juguen a un o més dels tres deports citats; no obstant, l'intersecció d'eixos tres conjunts seria el conjunt de persones que juguen als tres deports.
Eixemple: Siga A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} i C={0,5,20}, l'unió de A, B i C és el conjunt D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} i l'intersecció de A, B i C és el conjunt D={20}

Vore també

Referències

↑ Stanley A. Smith (2000). «1», Algebra, 1 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 3. ISBN 968-444-358-7.
↑ Nachbin, Leopoldo (1980). «3», Introducció a l'àlgebra, 1 edició (en espanyol), Editorial Reverte, p. 6. ISBN 97-884-2915-099-5.
↑ Harold J. Larson (1978). «1.2», Introducció a la teoria de provabilitats, 8 edició (en espanyol), Editorial Limusa, p. 16. ISBN 97-896-8180-730-6.
↑ Vore Barco Gómez, 2005, p. 21.

Notes

∪ (Símbol d'unió)
∩ (Símbol d'intersecció)
$\emptyset$ (Buit)
$A ∁$ o Plantilla:Sobrerrayado (Complement)
Δ (Diferència simètrica)
- (Diferència d'un conjunt)

Bibliografia

Barco Gómez, Carlos (2005). Àlgebra Booleana. Aplicacions tecnològiques, Universitat de Caldas. ISBN 9789588231389.
Larson, Harold J. (2002). «1. Teoria de conjunts», Introducció a la teoria de provabilitats i inferència estadística, Editorial Limusa. ISBN 9789681807306.
Nachbin (1980). «1. Conjunts i funcions», Introducció a l'àlgebra, Reverté. ISBN 9788429150995.
Rivaud (1981). «1. Conjunts. Aplicacions. Relacions. Numerabilidad.», Eixercicis d'àlgebra, Reverté. ISBN 9788429151312.
Rosen, Kenneth H. Matemàtiques Discretes i les seues Aplicacions. (en anglés)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Álgebra de conjuntos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Stanley A. Smith (2000). «1», Algebra, 1 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 3. ISBN 968-444-358-7.

[2] Nachbin, Leopoldo (1980). «3», Introducció a l'àlgebra, 1 edició (en espanyol), Editorial Reverte, p. 6. ISBN 97-884-2915-099-5.

[3] Harold J. Larson (1978). «1.2», Introducció a la teoria de provabilitats, 8 edició (en espanyol), Editorial Limusa, p. 16. ISBN 97-896-8180-730-6.

[4] Vore Barco Gómez, 2005, p. 21.

[1]

[2]

[3]

[4]