Complement d'un conjunt

El complementari d'un conjunt $A$ és un atre conjunt $A$ que conté tots els elements (dins de l'univers $O$ ) que no estan en $A$ .

El complement d'un conjunt o conjunt complementari és un atre conjunt que conté tots els elements que no estan en el conjunt original. Per a poder definir-ho és necessari especificar qué tipo d'elements s'estan utilisant, o d'un atre modo, quin és el conjunt universal. Per eixemple, si es parla de número natural, el complementari del conjunt dels número primo $P$ és el conjunt dels números no primers $C$ , que està format pels número compuesto i el 1:

𝐏 = {2, 3, 5, 7, \dots}

C = {1, 4, 6, 8, 9, \dots}

A la seua volta, el conjunt $P$ és el complementari de $C$ . El conjunt complementari es denota per una barra horisontal o pel superíndex « $∁$ », per lo que es té: $P ∁ = C$ , i també $Plantilla:Sobrerrayado = P$ .

El conjunt complementari de $A$ és la diferència (o complementari relatiu) entre el conjunt universal i $A$ , per lo que abdós operacions (complementari i diferència) tenen propietats similars.

Definició

Archiu:Caps block 0 ejemplo.svg

Complementari d'un conjunt

A

.

Donat un conjunt $A$ , el seu complementari és el conjunt format pels elements que no pertanyen a $A$ :

Esta definició presupon que s'ha especificat un conjunt universal $O$ , puix d'un atre modo, en l'afirmació «tots els $x$ que no estan en $A$ », la paraula «tots» és ambigua. Si es menciona explícitament el conjunt universal $O$ , llavors el complementari de $A$ és el conjunt de tots els elements de $O$ que no estan en $A$ , per lo que la relació en la diferencia és clara:

$A^{∁} = U ∖ A$

Per un atre costat, considerant un conjunt universal, la diferencia entre dos conjunts pot expressar-se utilisant la noció de complementarietat:

Eixemple. El complementari del conjunt de tots els homes és el conjunt de totes les dònaés (parlant de persones). Parlant de número natural, el complementari del conjunt ${1, 5, 6, 7, 8, 10}$ és el conjunt ${2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}$ . El complementari del conjunt $A$ en l'image és la zona sombreada de blava (el conjunt universal $O$ és tota l'àrea del rectàngul).

Propietats

ya que el conjunt universal conté tots els elements en consideració, i el conjunt buit no conté a cap, es té lo següent:

$U^{∁} = \emptyset, \emptyset^{∁} = U$

ya que la noció de complementarietat està relacionada en la negació en llògica, la primera posseïx propietats similars a la segona:

En també unes relacions entre les operacions d'unió i intersecció a través del complement:

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció parcial derivada de «Complementary relation» de Wikipedia en inglés publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Lipschutz, Seymour (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.