Diferència de conjunts

La diferència entre els conjunts

A

i

B

(i viceversa) és un atre conjunt en tots els elements del «minuent», llevat els continguts en el «substraent».

En teoria de conjunts, la diferència de dos conjunts és una operació que dona com resultat un atre conjunt en els elements del primer conjunt sense els elements del segon conjunt. Per eixemple, la diferència entre el conjunt dels número natural, $ℕ$ , i el conjunt dels número par sense incloure el zero, $P$ , és el conjunt dels números que no són parells, és dir, els impars, $I$ :

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \dots}

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12 \dots}

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 \dots}

Com no hi ha cap element del conjunt $P$ que no siga un número natural, la diferència $P$ menys $N$ no té cap element, per lo que és el conjunt buit. La diferència entre dos conjunts $A$ i $B$ es denota per $A B$ o $A - B$ , per lo que: $N P = I$ , i també $P - N = \emptyset$ .

Definició

Archiu:Diferencia entre conjuntos.svg

Diferències entre conjunts

Donats dos conjunts $A$ i $B$ , la seua diferència és el conjunt que conté alguns elements de $A$ que no estan en $B$ :

La diferència entre $A$ i $B$ també es denomina complement relatiu de $B$ en $A$ , i es denota $∁ A B$ , quan el segon és un subconjunt del primer. Este nom prové de la relació entre les operacions de diferència i complement (vore més avall). La norma ISO dona preferència a la notació cpero no es potbarra invertida. ^{cita requerida}

Eixemple. Sean $A = {♠, 5, z, R, 0}$ i $B = {0, p, 9, z, Δ}$ . Les seues diferències són $A B = {♠, 5, R}$ i $B A = {p, 9, Δ}$ Siguen els conjunts de número natural $P = {n : n és parell}$ i $P = {n : n és primer}$ . La diferència $P P$ és llavors ${n : n és parell i no és primer} = {n : n és parell i compost} = {4, 8, 6, ...}$ . Per un atre costat, $P P = {n : n és primer i no és parell} = {n : n és primer i impar} = {3, 5, 7, 11, ...}$ . En l'introducció es va mostrar que la diferència $P N$ és el conjunt buit. Ademés, $P I$ és igual a $P$ : cap número par és al mateix temps un número impar.

Propietats

Artícul principal → Àlgebra de conjunts.

De la definició de la diferència de conjunts, pot deduir-se immediatament.

Estes igualtats són un cas particular de la següent propietat:

l'intersecció de dos conjunts és la part que tenen en comuna, mentres que la diferència és la part que no compartixen. Açò es traduïx en la següent propietat:

Açò vol dir que l'intersecció i la diferència entre $A$ i $B$ són una (possible) partició de $A$ .

La diferència de conjunts està molt relacionada en el complement d'un conjunt:

És per açò que la diferència de dos conjunts, $A$ - $B$ , es denomina també el complement relatiu de $B$ respecte de $A$ : $A B$ és el complement absolut de $B$ , considerant a $A$ com el conjunt universal . Les lleis de De Morgan i atres propietats del complement d'un conjunt tenen llavors la seua contrapartida en la diferència de conjunts, si es té en conte que

Vore també

Bibliografia

Lipschutz, Seymour (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

Este artícul conté una traducció derivada de «Diferencia de conjuntos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.