Relació matemàtica

Ilustració d'una relació d'eixemple en un conjunt A= {a, b, c, d }. Una flecha de x a i indica que la relació es manté entre x i i. La relació està representada pel conjunt {(a,a), (a,b), (a,d), (b,a), (b,d), (c,b), (d,c), (d,d) } de parells ordenats

En matemàtiques, una relació en un conjunt és alguna classe de víncul que pot donar-se o pot no donar-se (sense possibilitat d'estats intermijos) entre dos membres d'un conjunt determinat. Per eixemple, "ser menor que" és una relació en el conjunt dels número natural; que es verifica entre 1 i 3 (lo que s'expressa com 1<3), i també entre 3 i 4 (denotat com 3<4); pero que no es dona entre 3 i 1 ni tampoc entre 4 i 4. Un atre eixemple pot ajudar a clarificar el concepte: "ser germana de" és una relació en el conjunt de totes les persones, que es complix, per eixemple, entre Marie Curie i Bronisława Dłuska, i viceversa.

Els membres del conjunt no poden estar en relació "fins a cert punt": o estan en relació, o no ho estan.

Característiques generals

Formalment, una relació R sobre un conjunt X pot vore's com un conjunt de parells ordenats (x, i) de membres de X. La relació R es manté entre x i i si (x, i) és membre de R.

Per eixemple, la relació "ser menor que" en els número natural genera un conjunt infinit de parells d'número natural denominat R_menor, que conté tant a (1,3) com a (3,4), pero ni a (3,1) ni a (4,4).

La relació "és un divisor de" en el conjunt d'número natural d'un dígit és lo suficientment chicoteta com per a mostrar-se ací:

R_div= {(2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8) };

per eixemple, 2 és un divisor no trivial de 8, pero no al revés, per lo tant (2,8) ∈ R_div; i en canvi, (8,2) ∉ R_div.

Si R és una relació que es complix per a x i i, a sovint s'escriu xRy. Per a les relacions més comunes en matemàtiques, s'introduïxen símbols especials, com "<" per a "és menor que", i "|" per a "és un divisor no trivial de", i, el més conegut símbol "=" per a "és igual que". Per eixemple, "1<3", que es llig com "1 és menor que 3", i "(1,3) ∈ R_menor" signifiquen lo mateix; alguns autors també escriuen "(1,3) ∈ (<)".

A continuació es mencionen algunes propietats de les relacions:

• Una relació R és reflexiva si xRx es complix per a tots els x, i irreflexiva si xRx no es complix per a cap x.
• És simètrica si xRy sempre implica yRx i asimètrica si xRy implica que yRx és impossible.
• És transitiva si xRy i yRz sempre impliquen que xRz.

Per eixemple, "és menor que" és una relació irreflexiva, asimètrica i transitiva, pero no reflexiva ni simètrica. La relació "és germà de" és transitiva, pero no reflexiva (per eixemple, Pierre Curie no és germà de sí mateixa), és simètrica, no és asimètrica; si ben ser irreflexivo o no pot ser una qüestió de definició (¿és cada dòna germana de sí mateixa?). La relació "és antepassat de" és transitiva, mentres que "és pare de" no ho és.

S'han declarat numeroses teoremes matemàtiques sobre combinacions de propietats de relació, com "Una relació transitiva és irreflexiva si, i solament si, és asimètrica".

De particular importància són les relacions que satisfan certes combinacions de propietats. Un conjunt parcialment ordenat està definit per mig d'una relació reflexiva, antisimètrica i transitiva, una relació d'equivalència és una relació reflexiva, simètrica i transitiva, una funció és una relació única per la dreta i total per l'esquerra (vore més alvance).

Ya que les relacions operen sobre conjunts, es poden manipular per mig d'operacions de conjunts, incloses operacions com l'unió, l'intersecció i la complementación, i satisfent les lleis d'un àlgebra de conjunts. Més allà d'este fet, estan disponibles operacions com l'inversa d'una relació i la composició de relacions, que satisfan les lleis del càlcul de relacions.

El concepte anterior de relació s'ha generalisat per a admetre relacions entre membres de dos conjunts diferents ("relació heterogénea", com en el cas de la relació "es troba en" definida entre el conjunt de tots els punts i el de totes les rectas en geometria), relacions entre tres o més conjunts (relació finita, com en el cas de "la persona x,, viu en la ciutat i,, en el moment z,,"), i relacions entre classes (com en el cas de "és un element de" en la classe de tots els conjunts; vore relació binaria).

Definició

Donat un conjunt X, una relació R sobre X és un conjunt de parells ordenats d'elements de X. Formalment: R ⊆ {(x,i): x,i ∈ X}.

La declaració (x, i) ∈ R s'interpreta com que "x està R-relacionat en i"; i escrita en notació de infijo pren la forma xRy. L'orde dels elements és important; si x ≠ i llavors yRx pot ser verdader o fals independentment de xRy. Per eixemple, 3 dividix a 9, pero 9 no dividix a 3.

Vore també

• Estructura d'incidència, una relació heterogénea entre un conjunt de punts i rectes
• Teoria de l'orde, investiga les propietats de les relacions d'orde.

Bibliografia

• Codd, Edgar Frank. The Relational Model for Database Management: Version 2, Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0201141924.
• Enderton, Herbert. Elements of Set Theory, Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0.

• (2000) Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-015248-7.
• Peirce, Charles Sanders. “Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from an Amplification of the Conceptions of Boole's Calculus of Logic”. Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences 9 (2): 317–178. doi:10.2307/25058006. Bibcode: 1873MAAAS...9..317P.
• Schmidt, Gunther. Relational Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76268-7.