Relació inversa

En matemàtiques, la relació inversa o transposició de una relació binaria és la relació que apareix quan l'orde dels elements és intercanviat en la relació. Per eixemple, l'inversa de la relació «fill de» és la relació «pare de». En térmens formals, si $X$ i $I$ són conjunts i $L \subseteq X \times I$ és una relació de $X$ en $I$ , llavors $L Plantilla:Font$ és la relació definida tal que $i L Plantilla:Font x$ si i solament si $x L i$ . En notació de constructor de conjunts, $L Plantilla:Font = {(i, x) \in I \times X | (x, i) \in L$ }.

La notació és anàloga a la d'una funció inversa. Encara que moltes funcions no tenen inversa, cada relació té una única inversa. l'operació unaria que mapea una relació en la seua inversa és una involució, de tal forma que induïx l'estructura d'un semigrupo en involució en les relacions binarias en un conjunt, o de forma general, induïx una categoria en involució en la categoria de relacions com es detalla a continuació. Com operació unaria, l'inversa (a voltes cridada transpuesta) commuta en les operacions relacionades en l'orde del càlcul de relacions, és dir, commuta en l'unió, l'intersecció, i el complement.

La relació inversa també és cridada relació transpuesta— en vista a la seua similitut en la transpuesta d'una matriu .^[1] També rep noms com el opost de la relació original,^[2] o el invers de la relació original,^[3]^[4]^[5] o el recíproc L° de la relació L.^[6]

Atres notacions per a la relació inversa són $L C, L -1, L$ , $\overset{˘}{L}$ , $L °$ , $L \lor$ o $t L$ .

Eixemples

Per a les relaciones d'orde (estrictes o no), l'inversa és l'orde opost, per eixemple: $\leq^{𝖳} = \geq, <^{𝖳} = > .$

Una relació pot ser representada per una matriu booleana com la següent

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

La relació inversa és representada per la seua matriu transpuesta:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) .

L'inversa de relacions de parentesc són cridades: "A és fill de B" té inversa "B és fill de A". "A és nebot de B" té inversa "B és tio de A". La relació "A és germà B" és la seua pròpia inversa, ya que és una relació simètrica.

En teoria de conjunts, se supon un univers O de discurs, i una relació fonamental de membre del conjunt x ∈ A quan A és un subconjunt de O. El conjunt potencia de tots els subconjunts de O és el domini de l'inversa $∋ = \in^{𝖳} .$

Propietats

En el monoide de les endorrelaciones binarias en un conjunt (en l'operació binaria en relacions sent la composició de relacions), la relació inversa no satisfà la definició d'invers en teoria de grups, per eixemple, si L és una relació arbitrària en X, llavors $L \circ L^{𝖳}$ no és igual a la relació identitat en X en general. La relació inversa satisfà els axioma (dèbils) d'un semigrupo en involució: ${(L^{𝖳})}^{𝖳} = L$ i ${(L \circ R)}^{𝖳} = R^{𝖳} \circ L^{𝖳}$ .^[7]

Ya que generalment es poden considerar relacions entre diferents conjunts (els quals formen una categoria més que monoide, a saber, la categoria de relacions Rel), en este context la relació inversa s'adequa als axioma de categoria de daga (també conegut com a categoria en involució).^[7] Una relació igual a la seua inversa és una relació simètrica; en llenguage de categories de dagas, és el seu propi adjunt.

Ademés, el semigrupo de endorrelaciones en un conjunt és també una estructura parcialment ordenada (en l'inclusió de relacions com a conjunts). De forma pareguda, la categoria de les relacions heterogénees Rel també és una categoria ordenada.^[7]

En el càlcul de relacions, l'inversió (l'operació unaria de prendre la relació inversa) commuta en atres operacions binarias d'unió i intersecció. L'inversió també commuta en l'operació unaria de complementación, aixina com en el suprem i ínfim. L'inversió també és compatible en l'ordenació de relacions per inclusió.^[8]

Si una relació és reflexiva, irreflexiva, simètrica, antisimètrica, asimètrica, transitiva, total, tricotómica, un orde parcial, orde total, orde estrictament dèbil, preorden total (orde dèbil), o una relació d'equivalència, la seua inversa també ho és.

Referències

↑ (1993) Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists, Springer Berlin Heidelberg, pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.
↑ (2002) Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups, Kluwer Academic Publishers, p. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.
↑ Daniel J. Velleman (2006). How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, p. 173. ISBN 978-1-139-45097-3.
↑ (2014) Advanced Calculus, World Scientific Publishing Company, p. 9. ISBN 978-9814583930.
↑ Rosen, Kenneth H. (2017). Handbook of discrete and combinatorial mathematics, Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne., Second edició, Boca Raton, FL, pp. 43. OCLC 994604351. ISBN 978-1-315-15648-4.
↑ Peter J. Freyd & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, page 79, North Holland ISBN 0-444-70368-3
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 Joachim Lambek (2001). «Relations Old and New», Ewa Orłowska (ed.). Relational Methods for Computer Science Applications, Springer Science & Business Mija, pp. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.
↑ (1993) Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists, Springer Berlin Heidelberg, pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Relación inversa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[R&G-1] (1993) Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists, Springer Berlin Heidelberg, pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.

[2] (2002) Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups, Kluwer Academic Publishers, p. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.

[3] Daniel J. Velleman (2006). How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, p. 173. ISBN 978-1-139-45097-3.

[S&S-4] (2014) Advanced Calculus, World Scientific Publishing Company, p. 9. ISBN 978-9814583930.

[5] Rosen, Kenneth H. (2017). Handbook of discrete and combinatorial mathematics, Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne., Second edició, Boca Raton, FL, pp. 43. OCLC 994604351. ISBN 978-1-315-15648-4.

[6] Peter J. Freyd & Andre Scedrov (1990) Categories, Allegories, page 79, North Holland ISBN 0-444-70368-3

[Lambek2001-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 Joachim Lambek (2001). «Relations Old and New», Ewa Orłowska (ed.). Relational Methods for Computer Science Applications, Springer Science & Business Mija, pp. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.

[R&G2-8] (1993) Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists, Springer Berlin Heidelberg, pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]