Relació simètrica

Una relació binaria R sobre un conjunt A, és simètrica^[1]^[2]^[3] quan es dona que si un element està relacionat en un atre per mig de R, llavors eixe atre també està relacionat en ell, a través de la mateixa "R". És lo mateix tindre (a,b) que tindre (b,a).

És dir,

\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow y R x

^[4]

En tal cas, es diu que R complix en la propietat de simetria.

L'aplicació de qualsevol relació R sobre un conjunt A, es representa en el parell ordenat (A, R).

Quan una relació és lo opost a una simètrica, és dir, quan es dona que si un element està relacionat en un atre per mig de R, llavors eixe atre no està relacionat en el primer, llavors es diu que és asimètrica, lo que denotem formalment per:

\forall x, y \in A : x R y \Rightarrow \neg (y R x)

En este cas, es diu que R complix en la propietat de asimetria.

Representació

Siga R una relació simètrica o asimètrica aplicada sobre un conjunt A, llavors R té una representació particular per a cada forma de descriure una relació binaria.

Notació	Relació simètrica	Relació asimètrica
Com parells ordenats	$\forall x, y \in A, (x, y) \in R \Rightarrow (y, x) \in R$	$\forall x, y \in A, (x, y) \in R \Rightarrow (y, x) \in̸ R$
Com matriu de adyacencia	Matriu $M$ que la seua transpuesta $M^{t}$ és tal que $M^{t} = M .$	Matriu $M$ que la seua diagonal solament té zeros, és dir, $\forall i = {1, ..., n}, (a_{i, i})_{n \times n} = 0,$ i ademés $M + M^{t}$ produïx una matriu simètrica.
Com grafo	És un grafo que es pot representar com grafo no dirigit.	És un grafo dirigit sense bucles ni cicles.

Eixemples

Siga A un conjunt qualsevol:

Siga $(A, =)$ , $=$ (l'igualtat matemàtica), és simètrica.
Siga $(A, \cup)$ , $\cup$ és simètrica.
"Estar casat en" és una relació simètrica, mentres que "ser més alt que" no ho és.
Siga $(A, >)$ , $>$ ("major estricte que") és asimètrica, de la mateixa manera que $<$ ("menor estricte que").
Siga $(A, \subset)$ , $\subset$ (l'inclusió estricta de conjunts), és asimètrica.

Vore també

Relació simètrica
Relació antisimètrica

Relació total

Referències

↑ Villalpando Becerra (2014). «3.5», Matemàtiques Discretes, 1 edició (en espanyol), Grup Editorial Pàtria, p. 66. ISBN 978-607-438-925-8.
↑ Caicedo Barrero (2010). «2.4», Introducció a la Teoria de Grafos, 1 edició (en espanyol), Edicions Elizcom, p. 20. ISBN 978-958-993-257-5.
↑ Richard Johnsonbaugh (2005). «3», Matemàtiques discretes, 6 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.
↑ (2013) Introducció a l'Àlgebra - Apunte del curs, Oficina d'apunts del Departament d'Ingenieria Matemàtica de l'Universitat de Chile, pp. 55.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Relación simétrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Villalpando Becerra (2014). «3.5», Matemàtiques Discretes, 1 edició (en espanyol), Grup Editorial Pàtria, p. 66. ISBN 978-607-438-925-8.

[2] Caicedo Barrero (2010). «2.4», Introducció a la Teoria de Grafos, 1 edició (en espanyol), Edicions Elizcom, p. 20. ISBN 978-958-993-257-5.

[3] Richard Johnsonbaugh (2005). «3», Matemàtiques discretes, 6 edició (en espanyol), Pearson Educació, p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.

[4] (2013) Introducció a l'Àlgebra - Apunte del curs, Oficina d'apunts del Departament d'Ingenieria Matemàtica de l'Universitat de Chile, pp. 55.

[1]

[2]

[3]

[4]