Anar al contingut

Acotat

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

Plantilla:Relació binaria 101 En matemàtica, el concepte de acotat es referix a una situació en la que para cert objecte matemàtic o un objecte construït a partir del mateix pot establir-se una relació d'orde en un atre tipo d'entitat anomenada cota superior o inferior. Els detalls varien segons el context, per lo que es remet al cos d'este artícul per a una definició precisa en cada cas.

Visió general

[editar | editar còdic]
Archiu:Bounded unbounded.svg
Representació intuïtiva d'un conjunt acotat (dalt) i d'un conjunt illimitat (avall). El conjunt d'avall s'estén indefinidament cap a la dreta

En anàlisis matemàtic i àrees relacionades de les matemàtiques, un conjunt es denomina acotat si és, en cert sentit, de mida finita.[1] Pel contrari, un conjunt que no està acotat es diu illimitat. La paraula acotat no té sentit en un espai topològic general sense la mètrica corresponent.

Frontera és un concepte distint: per eixemple, l'àrea d'un círcul aïllat és un conjunt acotat pero sense frontera, mentres que un semiplano és illimitat pero posseïx una frontera.

Un conjunt acotat no és necessàriament un conjunt tancat i viceversa. Per eixemple, un subconjunt S d'un espai real bidimensional R2 restringit per dos curves parabòliques x2 + 1 i x2 - 1 definides en un sistema de coordenades cartesianas està tancat per les curves, pero no és acotat (i per lo tant, és illimitat).

Definició en els número real

[editar | editar còdic]
Archiu:Illustration of supremum es.svg
Un conjunt real en cotes superiors i la seua suprem

Un conjunt S de número real es denomina superiorment acotat si existix algun número real k (no necessàriament en S) tal que k ≥ s per a tots els s en S. El número k es denomina cota superior de S. Els térmens inferiorment acotat i cota inferior es definixen de manera similar.

Un conjunt S està acotat si té cotes superior i inferior. Per lo tant, un conjunt d'número real està acotat si està contingut en un interval finito.

Definició en un espai mètric

[editar | editar còdic]

Un subconjunt S d'un espai mètric (M, d) està acotat si existix r > 0 tal que para tots els s i t en S, es té que d(s, t) < r. L'espai mètric (M, d) és un espai mètric acotat (o d és una mètrica acotada) si M està acotat com un subconjunt de sí mateixa.

  • Totalment acotat implica acotat. Per a subconjunts de Rn, els dos conceptes són equivalents.

Un espai mètric és compacte si i solament si és complet i està totalment acotat. Un subconjunt d'un espai euclídeo Rn és compacte si i solament si és tancat i està acotat. Esta propietat queda definida segons el teorema de Heine-Borel.

Acotación en espais vectorials topològics

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Conjunt acotat (espai vectorial topològic).


En espais vectorials topològics, existix una definició diferent per a conjunts acotats (que a voltes també es denominen conjunts acotats de von Neumann). Si la topología de l'espai vectorial topològic és induïda per una mètrica que és homogénea, com en el cas d'una mètrica induïda per la norma d'un espai vectorial normado, llavors les dos definicions coincidixen.[2]

La acotación en la teoria de l'orde

[editar | editar còdic]

Un conjunt d'número real està acotat si i solament si té un llímit superior i un atre inferior. Esta definició és extensible a subconjunts de qualsevol conjunt parcialment ordenat. Deu tindre's en conte que este concepte més general de acotación no correspon a una noció de tamany.

Un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat P es diu superiorment acotat si existix un element k en P tal que k ≥ s per a tots els s de S. L'element k es denomina cota superior de S. Els conceptes de inferiorment acotat i cota inferior es definixen de manera similar (vore també element mayorante i minorante).

Un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat P es denomina acotat si té un llímit superior i un atre inferior, o de manera equivalent, si està contingut en un interval. Tinga's en conte que açò no és solament una propietat del conjunt S, sino també del conjunt S com a subconjunt de P.

Un conjunt parcialment ordenat acotat P (és dir, per sí mateixa, no com a subconjunt) és aquell que té un element mínim i un element màxim. Deu tindre's en conte que este concepte de acotación no té res a vore en el tamany finito, i que un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat acotat P l'orde de la qual és la restricció de l'orde en P no és necessàriament un conjunt parcialment ordenat acotat.[3]

Un subconjunt S de Rn està acotat sobre la distància euclídea si i solament si està acotat com a subconjunt de Rn en l'orde del producte. No obstant, S pot estar acotat com a subconjunt de Rn en l'orde lexicogràfic, pero no sobre la distància euclídea.

Es diu que una classe de números ordinals és illimitada, o cofinal, quan donat qualsevol ordinal, sempre hi ha algun element de la classe major que ell. Per lo tant, en este cas illimitat no significa illimitat per sí mateixa, sino illimitat com a subclasse de la classe de tots els números ordinals.[4]

Conjunt parcialment ordenat i acotat

[editar | editar còdic]

Donat un conjunt A i una relació binaria ⪯ definida entre els elements de A, que expressarem (A,⪯) i la relació es representa:

x,y∈A,x⪯y

que es llig: per als elements x i i de A, x precedix a i, podent dir-se també que i succeïx a x.

La no relació es representa:

x,y∈A,x⪯̸y


En la seua representació cartesiana, podem vore els elements del conjunt, a on els elements de l'eix horisontal estan relacionats en els elements de l'eix vertical, si els elements estan relacionats es representa en +, si no estan relacionats es representa en ., tots els casos estan representats.

Si es complix que:

x⪯y∨y⪯x

l'element x precedix a i o i precedix a x, es diu que x i i són elements comparables.

Els següents parells d'elements no ordenats, són comparables, en l'eixemple:

(a,a),(a,b),(a,e),(a,h),(a,i),(a,j),(b,b),(b,e),(c,c),(c,f),(d,d),(d,g),
(e,e),(e,h),(e,i),(e,j),(f,f),(f,i),(g,g),(h,h),(h,i),(h,j),(i,i),(j,j)

Si es complix que:

x⪯̸y∧y⪯̸x

Si es complix que existix un i de A que es complix que para tot x de A es complix que x precedix a i. El conjunt A està acotat superiorment respecte a ⪯ sent i una cota superior de A.

De la mateixa manera direm que:

∀x∈A:∃z∈A:z⪯x

Si es complix que existix un z de A que es complix que para tot x de A es complix que z precedix a x. El conjunt A està acotat inferiorment respecte a ⪯ sent z una cota inferior de A.

Direm que un conjunt està acotat, si està acotat superior i inferiorment.

Element maximal i minimal

[editar | editar còdic]

AP

Archiu:Conjunto ordenado A 09.svg

Donat el conjunt A format pels elements:

A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

En el que s'ha definit una relació binaria ⪯ representada en la figura, sent (A,⪯) un conjunt parcialment ordenat.

j....+..+.+→i........+.h....+..+..g.++.+++++.f.+..++.+..→e....+.....d.++++++.+.c.++.++.+..→b.+........→a+.........⪯abcdefghij↑↑↑

Els elements i de A que complixen:

y∈Aesmaximalsi:∀x∈A:y⪯x⟶y=x

i de A és maximal si para tot x de A que complix que i precedixca a x llavors i és igual a x. Els elements i de A es denominen maximales i definixen una cota superior en A, els elements maximales no té perque ser únics, en l'eixemple a, d i j són maximales de A.

De la mateixa manera els elements z de A que complixen:

z∈Aesminimalsi:∀x∈A:x⪯z⟶z=x

z de A és minimal si para tot x de A que complixca que x precedixca a z llavors z és igual a x. es denominen minimales i definixen una cota inferior en A, els elements minimales no té perque ser únics, en l'eixemple a, b, i i i són minimales de A. Es pot vore que l'element a és maximal i minimal en Element màxim i mínim === AP

Archiu:Conjunto ordenado A 01.svg

Donat el conjunt A format pels elements:

A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

En el que s'ha definit una relació binaria ⪯ representada en la figura, sent (A,⪯) un conjunt parcialment ordenat. L'element i de A que complix:

y∈Aesma´ximosi:∀x∈A/x⪯y

es denomina màxim i definix la cota superior en A, l'element màxim és únic, en l'eixemple d és el màxim de A. L'element màxim d'un conjunt és maximal en eixe conjunt.

De la mateixa manera l'element z de A que complix:

z∈Aesmı´nimosi:∀x∈A/z⪯x

es denomina mínim i definix la cota inferior en A, l'element mínim és únic, en l'eixemple a és mínim de A. L'element mínim d'un conjunt és minimal en eixe conjunt.

Galeria d'eixemples

[editar | editar còdic]

AP Donat un conjunt A, entre els elements del qual, s'ha definit una relació binaria que definix un orde parcial, definit en les següents figures, es poden vore els distints casos per a determinar els maximales, minimales, màxims i mínims de cada cas, en cas d'existir:

1 2 3 4
Archiu:Conjunto ordenado A 01.svg Archiu:Conjunto ordenado A 02.svg Archiu:Conjunto ordenado A 03.svg Archiu:Conjunto ordenado A 04.svg
maximales: d. maximales: a, d, j. maximales: d. maximales: d.
màxim: d. màxim: no existix màxim: d. màxim: d
minimales: a. minimales: a, i. minimales: a, c, h. minimales: a, b.
mínim: a. mínim: no existix mínim: no existix mínim: no existix
5 6 7 8
Archiu:Conjunto ordenado A 05.svg Archiu:Conjunto ordenado A 06.svg Archiu:Conjunto ordenado A 07.svg Archiu:Conjunto ordenado A 08.svg
maximales: d, g. maximales: b, d, i. maximales: c, d. maximales: a, d, j.
màxim: no existix màxim: no existix màxim: no existix màxim: no existix
minimales: a, j. minimales: a. minimales: a. minimales: a, c, i.
mínim: no existix mínim: a. mínim: a. mínim: no existix
9 10 11 12
Archiu:Conjunto ordenado A 09.svg Archiu:Conjunto ordenado A 10.svg Archiu:Conjunto ordenado A 11.svg Archiu:Conjunto ordenado A 12.svg
maximales: a, d, j. maximales: a, d, g, j. maximales: a, b, d, i, j. maximales: a, c, d, j.
màxim: no existix màxim: no existix màxim: no existix màxim: no existix
minimales: a, b, i, i. minimales: a, d, i, j. minimales: a, i. minimales: a, i.
mínim: no existix mínim: no existix mínim: no existix mínim: no existix
13 14 15 16
Archiu:Conjunto ordenado A 13.svg Archiu:Conjunto ordenado A 14.svg Archiu:Conjunto ordenado A 15.svg Archiu:Conjunto ordenado A 16.svg
maximales: d, i, f. maximales: d, g. maximales: b, d, i. maximales: c, d.
màxim: no existix màxim: no existix màxim: no existix màxim: no existix
minimales: a, b, c, h. minimales: a, c, d, h, i. minimales: a, c, h. minimales: a, c, h.
mínim: no existix mínim: no existix mínim: no existix mínim: no existix

Vore també

[editar | editar còdic]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig (2015). Handbook of Mathematics, Springer, pp. 660 de 1207. ISBN 9783662462218.
  2. ↑ James J Yeh (2019). Metric In Measure Spaces, World Scientific, pp. 64 de 308. ISBN 9789813200425.
  3. ↑ E.I. Gordon, A.G. Kusraev, Semën Samsonovich Kutateladze (2013). Infinitesimal Analysis, Springer Science & Business Media, pp. 45 de 422. ISBN 9789401700634.
  4. ↑ Egbert Harzheim (2005). Ordered Sets, Springer Science & Business Media, pp. 71 de 386. ISBN 9780387242194.

Bibliografia

[editar | editar còdic]
  1. R. G. Bartle i D. R. Sherbert: Introducció a l'Anàlisis Matemàtic d'una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
  2. Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.
  10. Bartle, Robert G. (1982). Introduction to Real Analysis, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7.
  11. Richtmyer, Robert D. (1978). Principles of Advanced Mathematical Physics, New York: Springer. ISBN 0-387-08873-3.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Acotat&oldid=819535»