Relació d'orde

En matemàtiques, una relació d'orde o orde parcial és una relació binaria que pretén formalisar l'idea intuïtiva d'ordenació dels elements d'un conjunt, és dir, que permet comparar els seus elements.

Els conjunts dotats d'un orde, cridats conjunts ordenats, són l'objecte d'estudi de la teoria de l'orde.

Definició

Siga $A$ un conjunt donat no buit i $R$ una relació binaria definida en $A$, llavors es diu que $R$ és una relació d'orde si és:

1. Reflexiva Tot element de $A$ està relacionat en si mateixa. És dir, $\mathrm{\forall }x\in A,xRx$.
2. Antisimètrica: Si dos elements de $A$ es relacionen entre sí, llavors ells són iguals. És dir, $\mathrm{\forall }x,y\in A,xRy,yRx\Rightarrow x=y$
3. Transitiva: Si un element de $A$ està relacionat en un atre, i eixe atre a la seua volta es relaciona en un tercer, llavors el primer estarà relacionat també en este últim. És dir, $\mathrm{\forall }x,y,z\in A,xRy,yRz\Rightarrow xRz$

Donada una relació d'orde $R$ sobre un conjunt $A$, el parell ordenat $(A,R)$ forma per definició un conjunt ordenat.

Un eixemple de relació d'orde és l'inclusió en el conjunt potencia d'un conjunt A. En este cas, hi ha parells de subconjunts que no es poden comparar: ni el primer està contingut en el segon ni el segon ho està en el primer. En atres paraules, l'inclusió no és una relació d'orde total.

Órdens parcials i totals

Vore també: Orde total

Siga $A$ un conjunt dau, $\le$ és una relació d'orde total si i solament si la relació és d'orde i tots els elements de $A$ es relacionen entre sí, és dir,

• Eixemple $(\mathbb{N},\le )$ és totalment ordenat. En efecte, és:
  • Reflexiu: $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$ llavors $n\le n$ (perque per definició, $n=n$)
  • Antisimètric: $\mathrm{\forall }{n}_1,n_2\in \mathbb{N},$ si $n_1\le n_2$ i $n_2\le n_1,$ llavors $n_1\le n_2\le n_1$ $\Rightarrow n_1=n_2$
  • Transitivo: $\mathrm{\forall }{n}_1,n_2,n_3\in \mathbb{N},$ si $n_1\le n_2$ i $n_2\le n_3,$ llavors $n_1\le n_2\le n_3\Rightarrow n_1\le n_3$
  • Orde total,

puix Siguen a i b dos número natural, llavors a ≤ b o b ≤ a.

No totes les relacions d'orde són totals. Dos contraeixemples són:

• (ℤ₊, | ) no és totalment ordenat en la relació a|b, "a dividix b"; puix
  • 5 no dividix a 12, ya que no existix h sancer positiu tal que 12 = 5h. En tot cas, per a qualsevol h ∈ ℤ₊, 12 ≠ 5h.
  • 12 no dividix a 5 tampoc.
• Siga el conjunt $X=\{1,2,3\}$ i el conjunt potencia de $X$, definit per:

$𝒫(X)=\{\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Llavors $(𝒫(X),\subseteq )$ és parcialment ordenat, pero no totalment, puix para

$A=\{1\},C=\{3\}\in 𝒫(X),$

es té:

$A⊈C\wedge C⊈A.$

Note's que les relacions d'orde total són un cas particular de les relacions d'orde parcial.

Vore també

• Teoria de l'orde
• Desigualtat matemàtica
• Igualtat matemàtica

Esquema de temes relacionats

Teoria de l'orde Ben ordenat Orde total Parcialment ordenat Preordenado Relació reflexiva Relació transitiva Relació antisimètrica Relació total Relació ben fundada

Bibliografia

• Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en anglés), New York: American Mathematical Society.

• Davey, B.A. (2002). Introduction to Lattices and Order, 2nd. edició (en anglés), Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1.

• Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations, 1rst. (revised) edició (en anglés), Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3.

• Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en anglés), New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2.

• Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings, 2nd. edició (en anglés), New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.